Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

Опубликованная в 1874 г. работа [10] представляет собой, наряду со средней частью статьи [5], публикацию Кантора, открывающую теорию множеств; в ней делается решительный шаг к строгому разграничению трансфинитного, особенно в отношении мощности. В наивном понятии «бесконечного» исчезали все различия, и сам Кантор вначале предполагал еще континуум счетным; в этой же статье за теоремой о счетности множества алгебраических чисел следует доказательство, что множество всех действительных чисел уже несчетно. Именно, для каждой последовательности действительных чисел Кантор строит с помощью принципа вложенных отрезков не принадлежащее ей число. Из сопоставления обоих результатов вытекает существование бесконечного множества трансцендентных чисел в любом интервале. Естественно было бы искать еще более высокие трансфинитные мощности, перейдя от одномерного континуума к многомерным. Как показывает корреспонденция Кантора с Дедекиндом, эта мысль занимала исследователя уже летом 1874 г. Насколько нужен был новый подход, чтобы вообще усмотреть здесь какую-либо проблему, видно из письма Кантора: он рассказывает, как один его друг в Берлине объявил идею об отобразимости линейного континуума на плоский «заведомо абсурдной, поскольку само собой разумеется, что две независимых переменных не сводятся к одной»; подобную же отповедь получил он позже при посещении Геттингена по случаю юбилея Гаусса в 1877 г. В письме от 20 июня 1877 г. он сообщает Дедекинду, после многолетних усилий, свою попытку построить отображение одномерного континуума на многомерный, и просит друга проверить доказательство; результат оказался для него самого в высшей степени неожиданным : “je le vois, mais je ne le crois pas” («вижу, но не верю») и, как он думал, колеблющим понятие размеренность, т. е. возможность охарактеризовать размерность числом независимых координат. В ответе Дедекинда указывается пробел в доказательстве (позже устраненный с помощью несложного приема Юлиусом Кенигом); это побудило Кантора перейти от первоначально использованных им разложений в десятичные дроби к представлениям цепными дробями. Далее, Дедекинд, защищая понятие размерности, подчеркивает значение требования, чтобы соответствие было непрерывным.

По существу, усовершенствованное доказательство, сообщенное затем в письме Дедекинду, и содержится в работе [11], где устанавливается независимость мощности континуума от его размерности. В этой работе, между прочим, вводится уже понятие эквивалентности, понятие мощности и высказывается гипотеза континуума. Здесь содержится также, без доказательства, утверждение о сравнимости мощностей; ясно, что в то время (и еще долго впоследствии) Кантор считал это свойство самоочевидным.

Опубликование этой работы в «Журнале Крелля» не обошлось без трудностей; она пролежала в редакции, после поступления 12 июля 1877 г., дольше обычного тогда срока и гораздо дольше, чем это допускало нетерпение Кантора, хотя за нее и вступился Вейерштрасс. В ноябре автор горько жаловался Дедекинду, что печатание статьи, вопреки заверениям редакции, «совершенно непостижимым для него образом» затягивается и откладывается в пользу работ, поступивших позднее; вероятно, причина заключалась в парадоксальности ее результата для того времени. К счастью, Дедекинду удалось, ссылаясь на собственный опыт, отговорить друга от опрометчивого намерения забрать рукопись и напечатать ее в виде отдельного сочинения; вскоре трудности в редакции рассеялись, и статья вышла из печати. Это была, однако, последняя публикация Кантора в «Журнале Крелля»; если даже допустить, что Кантор придал слишком серьезное значение задержке опубликования, причиной ее было уже, по-видимому, отрицательное отношение Кронеккера к идеям своего ученика, из которого впоследствии и развился кризис 1884 года. В то время как все эти обстоятельства тяжело удручали Кантора, назначение его ординарным профессором в Галле удовлетворило его лишь в ограниченной степени, потому что он стремился к другой должности и к более широкому кругу действия. Уже в 1874 г. он сознается Дедекинду: «Во время каникул я никогда не мог здесь долго выдержать, потому что единственное, что меня в течение пяти лет, некоторым образом, привязывает к Галле − это однажды избранная университетская профессия». Он предполагал, что отсутствие приглашений из других мест объясняется критической оценкой его работ влиятельными коллегами; при том почти бесспорном авторитете, которым пользовался тогда Кронеккер, это кажется вполне оправданным. Так, в 1883 г. Кантор, подавая министру прошение о месте в Берлине, не только не рассчитывал на немедленный успех, но заранее предвидел препятствия со стороны Шварца и Кронеккера; прошение не имело успеха, вызвав сильное противодействие Кронеккера.

Поразительное, почти не известное замечание Кантона, по-видимому, доказывает, что уже в начале семидесятых годов он ясно понимал значение зарождавшихся у него идей, а также сопротивление, которое они должны вызвать; в то время исследования о тригонометрических рядах только что привели его к актуальной бесконечности, а первая его работа, посвященная теории множеств в узком смысле [10], еще не была опубликована. Намереваясь сделать доклад в Обществе Естествоиспытателей города Галле для которого, естественно, следовало выбрать общедоступный предмет, он остановился на теории вероятностей, которой занимался уже в течение нескольких лет. И вот, в докладе, состоявшемся б декабря 1873 г., он замечает по поводу француза де Мере, оспаривавшего авторитет Паскаля в одном вопросе теории вероятностей: «Как я полагаю, шевалье де Mepe может послужить предостерегающим примером всем противникам точного исследования, какие встречаются во все времена и повсюду; ибо с ними также может приключиться, что именно в том месте, где они пытаются нанести науке смертельные раны, вскоре расцветет перед их взором новая ветвь, возможно, плодотворнее прежних − как теория вероятностей перед взором шевалье де Мере». Отметим еще, что в более поздних письмах к Миттаг-Лефлеру Кантор постоянно называет Кронеккера псевдонимом «г-н фон Мере».

В противоположность Кронеккеру, Вейерштрасс уже тогда проявил полное понимание идей своего прежнего ученика. Он заинтересовался уже докладом в семинаре, где тот, еще будучи студентом, располагал рациональные числа в последовательность; точно так же, после недолгой первоначальной озадаченности, он очень быстро оценил сообщенное ему в 1873 году понятие счётности в его общем виде, и сразу воспользовался счётностью алгебраических чисел в одном вопросе, касающемся действительных функций [7] См. письмо Вейерштрасса П. Дю Буа-Реймону от 15 декабря 1874 г. ( Acta. Mathematica, 39, стр. 206, 1924) . Далее Кантор по предложению Вейерштрасса впервые применил понятие счетности к анализу (в работе [8]), и обратно, канторова теория объема в [13] побудила Вейерштрасса заняться теорией действительных функций [8] См. письмо Вейерштрасса Софье Ковалевской от 16 мая 1885 г. ( ibid. , стр.195 и далее) .