Леонард Млодинов - (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

Ожидание — важное понятие не только в азартных играх, но и во всем, что связано с принятием решений. Зачастую «пари Паскаля» считают основой такого раздела математики как теория игр — количественное исследование стратегий оптимального решения в играх. Должен заметить, подобные размышления вызывают привыкание, поэтому я иногда захожу слишком далеко. «Сколько стоит этот парковочный счетчик?» — спрашиваю я у своего сына. Вывеска гласит: 25 центов. Это так, однако 1 раз в 20 или около того приездов я прихожу поздно и нахожу талон на 40 долларов, так что 25 центов на самом деле жестокая приманка, объясняю я, потому что моя реальная плата равна 2 долларам 25 центам. (Дополнительные 2 доллара выходят благодаря 1 из 20 шансов получить талон, умноженный на его стоимость в 40 долларов.) «А что ты скажешь насчет нашей подъездной аллеи? — спрашиваю я другого своего сына. — Ее можно назвать платной?». Дело в том, что мы прожили в нашем доме лет 5 или же 2400 раза отъезжали от дома по аллее задом, и 3 раза я задевал зеркалом за торчащий столб ограды, что каждый раз обходилось мне в 400 долларов. С таким же успехом можешь установить на столбе аппарат по сбору платы и каждый раз, выезжая задом, бросать 50 центов, отвечает мне сын. Он понимает, что такое ожидание. (А еще советует мне не везти их с братом в школу, пока я не выпью свою чашечку кофе.)

Если смотреть на мир через объектив математического ожидания, можно стать свидетелем удивительного. Например, недавняя лотерея, которую распространяли по почте, сулила выигрыш в 5 млн долларов {79} 79 Bruce Martin, «Coincidences: Remarkable or Random?» Skeptical Inquirer 22, no. 5 (September/October 1998). . Только и нужно было, что сделать ставку по почте. Делать ставки можно сколько угодно, только высылать их нужно каждую отдельно. Видимо, спонсоры ожидали что-то около 200 млн, потому что внизу мелкими буквами указывалось: шансы на выигрыш равны 1 из 200 млн. Стоит ли принимать участие в таких вот «бесплатных лотереях»? Умножая вероятность выигрышных разов на выигрыш, получаем, что каждая ставка равна 1 /40 доллара или 2,5 центам — это гораздо меньше, чем почтовые расходы при отправке. В действительности, больше всех в этой лотерее выигрывает почта, которая, при условии правильности предполагаемых показателей, должна получить почти 80 млн со всех почтовых отправлений.

А вот еще одна сумасшедшая игра. Предположим, администрация Калифорнии объявит населению штата следующее: все те, кто вложит доллар-другой, ничего не приобретут, однако один получит целое состояние, а еще один будет лишен жизни жестоким способом. Кто-нибудь решится сыграть в такую игру? Еще как решится! Называется эта игра «государственная лотерея». И хотя государство рекламирует игру совсем не так, как это только что сделал я, на самом деле именно так все и происходит. В каждой игре один счастливчик получает крупную сумму, а миллионы других участников ездят к продавцам билетов, и при этом некоторые погибают в автокатастрофах. Если обратиться к статистике государственной дорожной инспекции и прикинуть, как далеко приходится ездить за билетом каждому из участников, сколько каждый из участников покупает билетов и сколько людей оказываются жертвами типичных аварий на дорогах, получится, что допустимое число несчастных случаев равно примерно одной смерти на игру.

Администрация штата обычно не принимает в расчет доводы о возможных негативных последствиях лотерей. И это потому, что в большинстве своем они достаточно осведомлены о математическом ожидании, чтобы рассчитать: на каждый купленный билет ожидаемые выигрыши — общая сумма призовых денег, поделенная на число купленных билетов — меньше стоимости одного билета. Обычно получается недурная сумма, которая перекочевывает в государственные закрома. Однако в 1992 г. некоторые инвесторы в австралийском Мельбурне заметили, что в Вирджинской лотерее этот принцип нарушается {80} 80 Holland, What Are the Chances? pp. 86–89. . По условиям игры необходимо выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Если бы нам удалось настолько продлить треугольник Паскаля, мы бы увидели, что существует 7 059 052 способов выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Лотерейный джекпот составлял 27 млн долларов, а если считать вместе со вторым, третьим и четвертым призами, то и все 27 918 561 доллар. Сообразительные инвесторы возразили: если купить один билет с каждой из возможных 7 059 052 числовых комбинаций, стоимость этих билетов будет равна сумме джекпота. Значит, каждый билет будет стоить около 27,9 млн долларов разделенные на 7 059 052, то есть около 3,95 долларов. А по какой цене администрация штата Вирджиния, при всей ее мудрости, продает билеты? Как обычно: по 1 доллару.

Австралийские инвесторы быстро нашли 2 500 мелких инвесторов в Австралии, Новой Зеландии, Европе и США, каждый из которых согласился вложить в среднем по 3 тыс. долларов. Если все рассчитано правильно, примерный доход от этих вложений — 10 800 долларов. Однако план содержал в себе кое-какие риски. Во-первых, так как не они одни покупали билеты, существовала вероятность, что другой, и даже не один, а несколько окажутся с выигрышным билетом, то есть, выигрыш придется делить. Лотерея проводилась уже 170 раз; в 120 случаях победителя не оказывалось, в 40 случаях оказывался один победитель и лишь в 10 случаях — два. Если подобная частотность точно отражала ситуацию с шансами, тогда следовало, что в 120 случаях из 170 инвесторы получили бы весь выигрыш, в 40 случаях из 170 у них оказалась бы только половина, а в 10 случаях из 170 — лишь треть. Подсчитывая ожидаемый выигрыш с помощью принципа математического ожидания Паскаля, они пришли к следующей цифре: (120/170×27,9 млн долларов) + (40/170×13,95 млн долларов) + (10/170×6,975 млн долларов) = 23,4 млн долларов. А это 3,31 доллара за билет — неплохой доход с 1 доллара, даже после всех затрат.

Но существовала и другая опасность: кошмар службы логистики в связи с завершением выкупа всех билетов к окончанию срока розыгрыша. Могли потребоваться существенные незапланированные расходы, а значительную призовую сумму можно было так и не получить.

Члены инвестиционной группы тщательно подготовились. Они от руки, как того требуют правила, заполнили 1,4 млн билетов: каждый билет участвовал в пяти розыгрышах. В 125 торговых точках расставили выкупщиков и заручились поддержкой продуктовых магазинов, которые получали доход с каждого проданного билета. Схема была запущена за трое суток до завершения лотереи. Служащие магазинов работали посменно, чтобы успеть продать как можно больше билетов. В одном магазине за последние двое суток продали 75 тыс. билетов. Другой магазин, сетевой, принял банковских чеков на 2,4 млн билетов, распределил работу по печатанию билетов между своими торговыми точками и нанял курьеров, чтобы собрать их. И все-таки под конец группе не хватило времени: они купили всего 5 млн билетов из 7 059 052.