Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Времениподобный интервал s между двумя событиями на мировой линии наблюдателя определяет промежуток собственного времени наблюдателя между этими двумя событиями: τ = s/с . Ещё и поэтому такие интервалы называют времениподобными.

Перейдём к обсуждению с вето подобных интервалов. Отрезок прямой ОС на конусе на рис. 5.4 вполне можно интерпретировать как путь фотона (луча света), движуще го прямолинейно и равномерно со скоростью света. Действительно, лучу света отвечают прямые х = ct и х = - ct. Это как раз подтверждает, что интервал между любыми двумя мировыми точками на такой прямой равен нулю, т. е. светоподобный. Например, между началом координат и точкой С: s 2 = c 2 t 2 - х с 2 = 0, или между началом координат и точкой С', или между точками С и C' и т. д.

А теперь дадим ещё одно определение. Множество мировых точек, описывающее движения в зависимости от времени материальной частицы (в том числе и безмассовой, как фотон) на пространственно–временной диаграмме (в данном случае на диаграмме пространства Минковского) называется мировой линией. Если интервалы для любых двух точек на прямых мировых линиях времениподобны или светоподобны, то сами линии, соответственно, времениподобные или светоподобные. Конечно, мировые линии могут быть и искривлёнными, В этом случае, чтобы они соответствовали реальным частицам необходимо, чтобы углы наклона всех касательных не превышали угол наклона светового конуса. Тогда скорость частицы не превысит световую.

Также не нужно путать понятие мировой линии с обычной траекторией частицы в 3–мерном пространстве. Мировая линия — это путь на пространственной–временной диаграмме, траектория — это след, который оставляет зверёк в зимнем лесу.

Наконец, обсудим пространственноподобные интервалы. Если мы возьмём любую мировую точку вне конуса, скажем В, как на рис 5.4, то квадрат интервала между этой точкой и началом координат s 2 = c 2 t 2 - х В 2 будет отрицательным, и он будет как раз пространственноподобным. Точно так же, это относится ко всем мировым точкам вне конуса, скажем B ', поскольку пространственная часть интервала превышает временную. Наклон соответствующих отрезков больше, чем у светового конуса.

При лоренцевых вращениях в силу инвариантности все интервалы сохранят свои значения, а значит и тип, к которому относятся. То есть все мировые точки, которые были внутри конуса, там и останутся, то же относится к точкам вне конуса. Интересным является поведение светового конуса при таких вращениях. Поскольку скорость света во всех инерциальных системах отсчёта одинакова, то угол светоподобных отрезков не изменится (!), а это значит, что световой конус останется на месте.

На рис. 5.3 световой конус после лоренцева вращения не изменил своего положения, он относится как к покоящейся системе отсчёта с нештрихованными координатами, так и к движущейся — со штрихованными.

Теперь определим ещё одно важное понятие. Если для интервала между двумя событиями s 2 ≥ 0, то эти события могут быть соединены мировой линией, которая отвечает реальной частице или лучу света. Такие два события называют причинно связанными.

Если для интервала между двумя событиями s 2 < 0, то как бы мы не соединяли эти мировые точки непрерывными линиями, найдутся участки, где наклон касательной превышает наклон светового конуса. Такая линия не может быть отнесена к мировой линии какой‑либо реальной частицы, а события, для которых s 2< 0, называют причинно несвязанными.

Чтобы чувствовать себя уверенней, используя свойства пространства Минковского, полезно осознать, как сравниваются времениподобные интервалы на пространственно-временной диаграмме. Снова возьмём отрезок на временной оси от начала координат до момента f, квадрат его интервала — s 2 = c 2 t 2 . Затем рассмотрим наклонный отрезок прямой (времениподобной), также от начала координат до какой‑либо мировой точки, но с той же временной координатой t (например, точки А, рис. 5.4). Его квадрат интервала — это s 2 = c 2 t 2 - х А 2 . Мы видим, что интервал наклонного отрезка меньше, чем интервал вертикального для одинакового значения t !

Это выглядит парадоксально, ведь визуально все наоборот. Но вспомним, что интервал — это не длина траектории, а время, которое в движущейся системе отсчёта (наклонный отрезок) течёт медленнее, чем в покоящейся. Действительно (рис. 5.3), из преобразований Лоренца следует, что время t' 2 движущихся часов меньше времени t 2 покоющихся. Ясно, что интервал наклонного отрезка станет ещё меньше, если мы увеличим наклон. Если наклон сравняется с наклоном светового конуса, то интервал обратится в нуль.

В заключение перечислим основные понятия, определённые только что, и утверждения, важные для понимания свойств пространства Минковского:

• метрическое пространство — множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и введено правило определения расстояния между точками;

• мировая точка или событие — точка на диаграмме пространства Минковского (в 4–мерном пространстве-времени);

• мировая линия — совокупность мировых точек на диаграмме пространства Минковского, описывающая движение в зависимости от времени материальной массивной или безмассовой частицы;

• пространство Минковского — псевдоевклидово метрическое пространство, в котором связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, определяется интервалом, сохраняющимся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой;

•интервал времениподобнып, если его квадрат положительный; в этом случае он эквивалентен промежутку собственного времени наблюдателя, следующего от одного события к другому прямолинейно и равномерно;

интервал светоподобный, если его квадрат равен нулю;

интервал пространственноподобный, если его квадрат отрицательный;

• световой конус в данной мировой точке — совокупность всех с вето подобных прямых, проходящих через эту точку;

• причинно связанные события — события, которые могут быть соединены мировой линией, все касательные к таким линиям имеют наклон, не превышающий наклона с вето подобных прямых;

• лоренцевы вращения — переход в пространстве Минковского из одной инерциальной системы отсчёта в другую;