Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Сразу после создания специальной теории относительности, в 1905 году, Пуанкаре представил свои уравнения векторной гравитации, сохраняющиеся при преобразованиях Лоренца и подобные уравнениям Максвелла. Как модель, Пуанкаре рассматривает параллельное движение двух тел, неподвижных друг относительно друга. На основе преобразований Лоренца Пуанкаре выводит ряд инвариантов, сохраняющихся при этих преобразованиях, а затем рассматривает их возможное значение. В теории Пуанкаре получается, что полная сила гравитации имеет два компонента. Один из них, обычный, связан с расстоянием до притягивающего тела, а второй компонент определяется скоростью этого тела и является аналогом магнитной силы в электродинамике. Без второго компонента гравитационной силы нарушилась бы лоренц-инвариантность и известный уже результат о замедлении времени в движущихся системах отсчёта.

Позднее появились подобные работы Минковского и Лоренца и других авторов, целью которых было (как и в работе Пуанкаре) представить модифицированный закон Ньютона в лоренц–инвариантной форме. Это были теории векторного поля, распространяющегося в пространстве Минковского, речь об искривлении пространства–времени пока не шла вообще, Но векторные теории, включая и самую раннюю теорию Хевисайда, не могли объяснить сдвиг перигелия Меркурия, некоторые из теорий были внутренне противоречивы. Как и электродинамика, векторные теории предсказывают генерацию и распространение волн (гравитационных векторных), но в отличие от электродинамики эти волны должны переносить отрицательную энергию, что, конечно, недопустимо. Действительно, простая модель двух связанных тел в пустом пространстве Минковкого, излучая гравитационные волны, будет наращивать полную энергию!? Фактически вечный двигатель!? Такая ситуация возникает из‑за того, что тяготеющие заряды (массы) одного знака притягиваются, в отличие от зарядов в электродинамике. После появления ОТО и подтверждения нескольких её эффектов интерес к векторным теориям пропал. Со временем их перестали активно обсуждать, энтузиазм разрешать их противоречия угас.

Среди релятивистских теорий гравитации, возникших до общей теории относительности, нельзя не упомянуть скалярную теорию Эйнштейна и голландского физика Адриана Фоккера (1887–1972), представленную в 1914 году. Эта теория обобщала аналогичные предшествующие теории. Новаторским было то, что она была первой теорией, инвариантной относительно произвольных преобразований координат и описывала искривлённое пространство–время. Правда, она, как и другие релятивистские скалярные теории, не объясняла всех явлений, которые объясняет ОТО.

Пришло время начать рассказ собственно об общей теории относительности, о принципах её построения. Сначала вспомним факт равенства инертной и тяготеющей масс, установленный ещё Галилеем, затем подтверждённый Ньютоном и другими учёными, который мы уже подробно обсудили в главе 2. Сейчас это равенство проверено с относительной точностью 10 -12— 10 -13. Этот опытный факт Эйнштейн положил в основу общей теории относительности в качестве одного из ключевых принципов. Обычно его называют слабым принципом эквивалентности. Что из него следует?

Рис. 6.1. Движение в искривлённом пространстве

Если гравитационная масса точно равна инертной, то они могут быть заменены одна на другую как во втором законе Ньютона, так и в законе всемирного тяготения. Из этого следует, что ускорение тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, не зависит от массы (или каких‑то других свойств этого тела)! А значит и траектория тела не зависит от его массы. Но тогда, если все тела в одной и той же точке пространства получают одинаковое ускорение, то это ускорение нужно связать не со свойствами тел, а со свойствами самого пространства в этой точке. Поскольку в общем случае траектории тел, движущихся в гравитационном поле других тел, искривлены, то логично предположить, что пространство, в котором есть гравитационное взаимодействие, также искривлено. Далее, СТО убедительно показала, что пространство и время являются единой физической реальностью, Поэтому описание гравитационного взаимодействия между телами нужно сводить к описанию искривлённого пространства-времени (рис. 6.1).

Но каково свободное движение тела, если пространство–время искривлено? Здесь разумно снова вернуться к СТО и первому закону Ньютона. В инерциальной системе отсчёта такие тела движутся прямолинейно и равномерно. В искривлённом пространстве аналогом прямых линий являются геодезические.

Рис. 6.2. Линии кратчайшего расстояния на сфере

Их теория подробно разработана математиками XIX века.

Основной вклад внёс немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866). В искривлённом пространстве нет параллельных линий в понимании Евклида, сумма углов треугольника не равна 180°. Для примера рассмотрим поверхность Земли — это сфера, которая является 2–мерным пространством положительной кривизны. Что такое геодезическая на поверхности Земли? Это не прямая линия на карте, а дуга большого круга, который проходит через центр Земли (рис. 6.2). Именно с помощью такой дуги определяется кратчайшее расстояние между двумя точками на Земле. Сумма углов треугольника на поверхности Земли оказывается больше 180°.

Снова вспомним, что в релятивистской теории пространство и время не рассматриваются (не существуют) раздельно. Поэтому разумно рассматривать не траектории тел, а их мировые линии на пространственно-временной диаграмме. Инерциальному движению в плоском пространстве–времени соответствуют мировые линии, которые тоже прямые. А каковы мировые линии в искривлённом пространстве–времени? Опираясь на слабый принцип эквивалентности, Эйнштейн предложил принцип движения по геодезическим. Он звучит в одном из определений так: если нет других воздействий, кроме гравитационного, то тело движется свободно, по инерции, его мировая линия в пространстве–времени является геодезической. Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жёстко связанными с телом. Вспомним, что при обсуждении «парадокса близнецов» мы уже установили, что максимальное собственное время, требуемое для перемещения в плоском пространстве из одной мировой точки в другую, соответствует движению по прямой. Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с такой же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс. Отметим, что часто слабый принцип эквивалентности и принцип движения по геодезическим не разделяют.