Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Именно это поле даёт возможность построить величины, определяющие искривление пространства–времени. Тензорное поле определяется аналогично тому, как определяются скалярное и векторное поля. Задать поле метрического тензора означает, что в каждой мировой точке пространства–времени нужно задать набор функций, каждая из которых соответствует одной из компонент матрицы, представляющей этот тензор.

Решить уравнения Эйнштейна — это значит найти коэффициенты g ab . Но гравитационные уравнения должны решаться вместе с уравнениями для материи, состояние и движение которой также должны стать известными, как результат найденного решения. Также часто решают гравитационные уравнения в вакууме, то есть для областей пространства–времени, где нет материи. Тогда задачей является определить только метрику g ob , анализ которой даст всю информацию об искривлении пространства-времени, его геодезических и т. д. Решение уравнений ОТО с большими деталями обсуждается в Дополнении 4.

После того как решение уравнений ОТО найдено, необходимо обратиться к принципам соответствия, которые были определены в конце предыдущего параграфа. Первый из них касается соответствия теории гравитации Ньютона. Принцип звучит чётко и довольно жёстко. Но так и должно быть, если мы не хотим ошибиться в интерпретации решений новой теории. Теория Ньютона в данном случае играет роль критерия.

Уже сейчас очень полезно для последующего изложения записать простые формулы этого соответствия. Мы уже говорили, что гравитация Ньютона представлена скалярным полем (потенциалом) φ. Для точечной массы М (или сферически распределённого вещества) скалярное поле вне вещества определяется как φ = -GM/r , где r — расстояние до центра тела. Тогда сила, действующая на тело массы m в этом потенциальном поле, определяется стандартной формулой закона всемирного тяготения:

Движение тел в таком поле хорошо изучено. Как найти соответствие с движением тел в ОТО? Для этого нужно найти пространство–время, геодезические которого, в приближении малых скоростей и слабого поля φ, соответствуют движению тел в теории Ньютона. Такое пространство–время легко находится, его метрика в обсуждаемом приближении имеет в сферических координатах простую форму:

В силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. Эту метрику иногда называют метрикой «пространства–времени Ньютона». Здесь g 00= 1 + 2φ/ c 2 = 1 — 2 GM/rc 2 . Если нет тяготеющего центра, т. е. масса М = 0, то поле φ исчезает и метрика обращается в метрику пространства Минковского.

Этим мы отметили соответствие для движения тел в теории Ньютона и ОТО. Но также необходимо показать, что для слабых гравитационных полей и малых скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона. Но что такое уравнения тяготения Ньютона ? Очевидно, что это должны быть уравнения для поля φ. Здесь приходится идти обратным путём. Мы знаем, какое поле создаётся каждой отдельной частицей. Если у нас имеется произвольное распределение плотности вещества р в пространстве, то для каждой точки нужно выписать соответствующее значение φ. А общее поле Φ в каждой точке пространства просто сложится из всех отдельных φ. Тогда получится, что поле Φ в каждой точке удовлетворяет уравнению:

Оказывается, что при всех ограничениях соответствия уравнения ОТО, действительно, сводятся к этому единственному уравнению.

Но на проблему связи между теориями можно посмотреть и с другой позиции. Сила Ньютона — это обычная сила, которая растягивает пружину динамометра, давит на поверхность Земли, держит, как на «цепочках» (или «резинках»), планеты в Солнечной системе. В ОТО ситуация другая. Представим, что нас одарили «божественной» способностью воспринимать искривлённое прост ранет вовремя. При этом мы в состоянии фантастически осознать, где там проходят геодезические (по аналогии с тем, что нашего реального восприятия достаточно, чтобы оценить, что шайба, брошенная по гладкой поверхности катка, движется равномерно и прямолинейно). Тогда для нас понятие гравитационной силы исчезло бы вообще. Все заменилось бы геометрией. Вместо воображаемых «цепочек», на которых Солнце «тащит» планеты, мы увидели бы нечто, похожее на воронку, в которой планеты свободно (по инерции) обращаются вокруг Солнца (рис. 6.3). Если какой‑нибудь планете придать достаточно большую скорость, то она «выскочит» из воронки (а на языке гравитации Ньютона — преодолеет солнечное притяжение) и улетит в космос. Проявление же силы тяготения в быту мы интерпретировали бы как препятствие движению по геодезическим. Так, и пружина динамометра, и поверхность Земли, препятствуют такому движению.

Рис. 6.3. Движение планеты

Теперь мы можем также пояснить фразу, прозвучавшую значительно ранее: «общая теория относительности не опровергла теорию Ньютона, а дополнила её для описания режимов (систем), которые во времена Ньютона и вообразить‑то было невозможно». Как и самые ранние представления о тяготении, так и теория Ньютона — это все‑таки попытки описать известные проявления гравитационного взаимодействия. Да, теория Ньютона позволила открыть новые планеты, Но это результат приложения все того же закона всемирного тяготения, который фактически интерпретируется как известное решение уравнений Ньютона. Уравнения ОТО поставили исследователей совершенно в другую ситуацию. Внешне простые, они оказались весьма сложными для поиска решений, которых оказалось великое множество. Часто не менее сложной оказалась интерпретация новых решений: если одни из решений были некими обобщениями гравитирующих моделей теории Ньютона, то другие «и вообразить‑то было невозможно». К последним, например, можно отнести решения для чёрных дыр, присутствие которых во Вселенной уже доказано. Но об этом немного позже.

Принцип соответствия специальной теории относительности связан с уравнениями для материи. При «отключении кривизны» эти уравнения, построенные в искривлённом пространстве–времени, должны перейти в уравнения в плоском пространстве Минковского. Мы это не конкретизируем, но приведём простой пример. Если в одном из решений в искривлённом пространстве–времени частица движется по кривой геодезической, то при «отключении» кривизны (гравитации) движение частицы переходит в движение по прямой — это очевидно.