Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Решение Шварцшильда в математическом плане простое, поэтому мы немного с ним повозимся, Собственно, решением уравнений явилась метрика:

Здесь также в силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. С — постоянная интегрирования, без дополнительных предположений или принципов её определить невозможно. Здесь самое время обратиться к принципу соответствия. При «бесконечном» удалении от центра r → ∞ эта метрика обращается в метрику пространства Минковского в сферических координатах, точно так же, как и метрика пространства–времени Ньютона, которую мы уже обсуждали. Значит, на достаточном удалении нам необходимо сравнить новую метрику с метрикой пространства–времени Ньютона, обсуждавшейся в предыдущей главе. При аккуратной процедуре приближения оказывается, что здесь основное возмущение в метрику плоского мира вносится только первым слагаемым в выражении для интервала. Нужно сравнить его с аналогичным членом в метрике Ньютона. Это нам даст C = -2GM/c 2 , после чего метрика Шварцшильда запишется в окончательном виде:

где величина r g = 2GM/c 2 называется гравитационным радиусом. Мы так подробно обсуждаем решение Шварцшильда потому, что это ещё и базовое решения для чёрных дыр, речь о которых впереди. Также потом мы обсудим смысл гравитационного радиуса. А сейчас важно отметить, что появился параметр, определяющий решение, — это масса тела М, обращение в нуль этого параметра превращает решение Шварцшильда в метрику плоского мира.

Теперь мы во всеоружии, чтобы перейти к классическим тестам, подтвердившим ОТО. Уже в 1915 году, сразу после опубликования своих уравнений, Эйнштейн назвал три эксперимента, результаты которых должны соответствовать выводам новой теории.

Первый из этих экспериментов — отклонение луча света в гравитационном поле массивного тела. Из‑за слабости эффекта в роли массивного тела в то время могло выступить только Солнце. А отклонять оно может свет далёкой звезды, координаты которой известны достаточно точно.

Второй эксперимент — смещение перигелиев планет. Мы уже говорили об аномальном смещении перигелия Меркурия, о котором было известно с середины XIX века.

Третий эксперимент — эффект гравитационного красного смещения. Его суть в том, что электромагнитное излучение, испущенное из окрестности гравитируещего тела, должно терять энергию. Это выражается в том, что частота сигнала уменьшается, то есть его спектр смещается в красную сторону. Для точного теоретического описания этих эффектов как раз было необходимо решение Шварцшильда, которое не замедлило появиться, как мы уже отметили и только что представили.

Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца. Начнём с отклонения света и истории обсуждения проблемы, начавшейся задолго до релятивистской эпохи. Известно, что отклонение лучей света от прямой линии обсуждалось после создания Ньютоном классической механики, и как части её — оптики. Сам Ньютон был убеждённым сторонником корпускулярной теории света. А раз так, то «световые частицы» должны двигаться в поле тяготеющего центра точно так же, как и всякие другие тела — по линиям конического сечения. Поскольку скорость света Ньютону уже была известна (она очень большая по сравнению со скоростью планет), то траектории «световых частиц» должны быть скорее гиперболическими. Ньютону было известно, конечно, как вычислять угол между асимптотами, см. рис 7.1. Поэтому очень вероятно, что Ньютону была известна формула типа a = 2 GM/c 2 R. Она как раз определяет угол отклонения в поле тела массы М частицы, движущейся со скоростью света на расстоянии R от тела. Скорее всего ему была известна также величина отклонения луча света вблизи поверхности Солнца, поскольку все необходимые значения констант ко времени опубликования «Начал» были известны. Однако часто Ньютон не публиковал результаты, а форма представления их была очень сложной. Поэтому не известно наверняка, что Ньютон эту формулу выписывал. Кроме того, по тем временам не представлялось возможным измерить это отклонение света в поле Солнца, что могло поубавить заинтересованность в проблеме.

Рис. 7.1. Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца

Хотя приведённая формула не была опубликована, она фигурировала в переписке нескольких учёных. Наконец, в 1801 году немецкий астроном Иоганн Георг фон Зольднер (1776— 1833) представил в Берлинский астрономический ежегодник статью об отклонении луча света в гравитационном поле звезды, которая была опубликована в 1804 году и содержала эту замечательную формулу. Однако даже после публикации, она осталась на долгое время забытой.

О формуле Зольднера вспомнили в 1911 году, когда Эйнштейн в рамках специальной теории относительности получил точно такую же. К началу XX века телескопы уже давали возможность измерить угол отклонения луча света вблизи Солнца. Однако для такого измерения было необходимо затмение Солнца Луной, чтобы были видны звезды вблизи его края. Группа астрономов из Берлинской обсерватории заинтересовалась предсказаниями Эйнштейна и собралась провести измерения во время предстоящего полного солнечного затмения в Крыму в августе 1914 года, но началась Первая мировая война. А теория тем временем развивалась. В 1915 году на основе уже общей теории относительности, Эйнштейн получил новое значение для угла отклонения:

в два раза большее зольднеровского или своего 1911 года. Последовательный вывод этой формулы производится с помощью решения Шварцшильда. Уравнение траектории луча задаётся, как светоподобная геодезическая в пространстве–времени Шварцшильда, она имеет простой вид: ds 2 = 0. Единственным исходным условием должно быть направление света далёкой звезды на край Солнца, то есть при расчётах учитывается тот факт, что луч проходит от тяготеющего центра на расстоянии радиуса Солнца R.