Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Фактически все принципиальные предпосылки и необходимые требования для формулировки уравнений гравитационного поля в ОГО мы обсудили. Было осознано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространств а–в реме ни, а искривляется пространство-время под воздействием материк Оказалось также, что и тела, и материя в целом, воздействуют на прост ранет вовремя не только своей массой (или, эквивалентно, энергией), но и состоянием движения, напряжениями внутри тел, взаимодействием между разными видами материи. Больше деталей о материальных источниках можно найти в Дополнении 2. С другой стороны, искривляя пространство–время, материя движется (взаимодействует) уже в пространстве–времени искривлённом самой собой То есть пространство–время в общем случае не является безучастной ареной, на которой кипят страсти физических взаимодействий, а само становится динамическим объектом и во всем участвует. Уравнения Эйнштейна как раз устанавливают правила воздействия материи на пространство–время и наоборот.

Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании аргументов изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецким математиком Давидом Гильбертом (1862–1943). Научные интересы Гильберта во многом были связаны с математической физикой. С большим интересом он следил за попытками Эйнштейна создать общую теорию относительности, основанными на логике анализа физических явлений. Это вдохновило его на поиски строгого математического подхода к построению уравнений, которые и были выведены из, так называемого, принципа наименьшего действия. В общем, Гильберт имел планы «заковать физику» в рамки аксиоматического подхода. Но несмотря на впечатляющие результаты в построении уравнений гравитации, этот глобальный замысел Гильберта не удался. До сих пор ведутся споры о приоритете, однако мы считаем, что одни исследования дополняют другие. Если можно так сказать, то Эйнштейн проник в самую глубину физических явлений, а Гильберт дал аппарат, позволяющий исследовать их более эффективно.

Логика построения уравнений Эйнштейна и их конкретный формальный вид даны в Дополнении 3, а здесь мы разъясним основные понятия ОТО, к которым будем часто обращаться в основном тексте. Вернёмся к понятию интервала, который был введён для пространства Минковского. В отличие от плоского пространства, в искривлённом пространстве–времени расстояние между двумя мировыми точками в общем случае невозможно определить как конечную длину отрезка прямой. Необходимо перейти к измерениям в малой окрестности мировой точки {к бесконечно малым величинам). Тогда квадрат интервала пространства Минковского между двумя бесконечно близкими точками перепишется как квадрат элемента интервала (уже бесконечно малой величины) в виде:

Элемент пространства Минковского имеет такой простой вид ещё и потому, что здесь используются координаты Лоренца, то есть декартовы координаты в совокупности с временной координатой. Этот же квадрат элемента интервала (часто его все равно называют «интервал») может быть записан в более формальном виде:

Здесь a, b = 0,1,2,3; a нулевой координате обычно приписывают смысл временной, умноженной на скорость света: x 0 = ct Величина η ab является диагональной (отличны от нуля только элементы на диагонали) матрицей 4x4,

и называется метрикой Минковского. формальная запись интервала перейдёт в уже привычную, если использовать простое правило суммирования по повторяющимся индексам, например: m a n a = m 0 n 0 + m 1 n 1 + m 2 n 2 + m 3 n 3 . Метрика η ab ) задаёт способ измерения расстояний в пространстве Минковского в лоренцевых координатах.

Давайте «искривим» координаты (сделаем их произвольное преобразование), тогда интервал примет вид:

Величина g ab также называется метрикой и фактически задаёт способ измерения расстоянии в пространстве Минковского, но в тех координатах, в которых она определена.

Важно отметить, что элемент ds, так же как и сам интервал, инвариантная величина, то есть его значение остаётся тем же в любых координатах, Метрика g ab — это тоже матрица 4x4, но теперь в общем случае она уже не диагональна, её компоненты g 00, g 01 , g 11 , g 12… могут быть какими‑либо функциями времени и пространственных координат, см. Дополнение 1.

В искривлённом пространстве–времени способ измерения расстояний между мировыми точками такой же, как в плоском в криволинейных координатах — с помощью элемента интервала. Разница в том, что для пространства Минковского возможен переход от g ab к простому диагональному виду η ab во всем пространстве–времени, а для искривлённого — нет. Однако в малой окрестности отдельного свободно падающего наблюдателя такой переход возможен. Ведь согласно слабому принципу эквивалентности он ощущает себя в инерциальной системе отсчёта! Искривление не позволяет связывать мировые точки прямыми, поэтому мировые линии (геодезические или нет), соединяющие события, будут в общем случае кривыми. Их длина вычисляется с помощью бесконечно малых элементов интервала и последующего интегрирования.

Как элемент интервала, так и длина мировых линии (их полный интервал), также являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.

Пространственно–временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются также с помощью света. Скорость света не зависит от скорости излучателей, а для каждого локального наблюдателя, измеренная в его собственной системе отсчёта, имеет одно и то же стандартное значение с. При измерениях самым важным является то, что для света элемент интервала ds в силу инвариантности всегда равен нулю.

Если в наше время спросить даже не самого сведущего, но все таки образованного, человека: уравнения Эйнштейна — это уравнения чего? С большой вероятностью получишь ответ, что это уравнения гравитационного поля. А что такое гравитационное поле мы фактически только что рассказали — это поле метрики g ab , или метрического тензора.