Владимир Живетин - Научный риск (введение в анализ)

Абстрактные объекты, как правило, связаны с конкретной наукой, и в этом смысле они являются каноническими. Как указано в работе [85], «…разные типы объектов могут являться предметом исследования для, соответственно, разных типов наук и теорий. Каждому типу абстрактных объектов, в принципе, однозначно соответствует, по крайней мере, потенциальный тип науки или же научной теории; каждый тип науки имеет в качестве предмета исследования определенный, однозначно соответствующий ему тип абстрактных объектов».

По существу, здесь подчеркивается взаимосвязь абстрактных объектов и науки, породившей эти объекты. Для нас не принципиально, что было сначала, главное – связь между различными абстрактными объектами, какова структура этой связи, ибо здесь закладываются научные ошибки и соответствующие им научные риски.

Приведем различные способы деления на классы абстрактных объектов, связанных с конкретными науками.

Абстрактные объекты естественных и гуманитарных наук ( макрообъекты ).

Абстрактные объекты науки ( микрообъекты ).

Наиболее значимыми являются абстрактные объекты, созданные с помощью математики и математических теорий, которые включают:

а) содержательно-теоретические, созданные:

– классической математикой;

– интуиционистской математикой;

– конструктивной математикой;

б) формульные объекты.

Рассмотрим некоторые особенности абстрактных объектов.

I. Объектами исследования интуиционистской математики являются, прежде всего, конструктивные объекты: натуральные объекты, рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов. Основными объектами являются последовательности выбора, которые можно представить как функцию F (·), определенную на натуральном ряде и принимающую в качестве значений некоторые абстрактные объекты из некоторого класса (так, например, натуральные числа). При этом F (·) имеет значения, доступные для исследования.

Последовательности выбора в зависимости от степени информированности (относительно последовательности выбора) разделяют на следующие виды: 1) полностью известен закон образования последовательности выбора, например, в виде алгоритма, тогда такую последовательность выбора называют заданной законом (одна крайность); 2) если в каждый момент времени исследователю известен лишь некоторый начальный отрезок последовательности выбора и нет никакой информации относительно ее дальнейшего поведения, то такие последовательности выбора называются беззаконными (вторая крайность).

II. Объектами исследования конструктивнойматематики являются конструктивные процессы и возникающие в результате их выполнения конструктивные объекты . Понятия конструктивного процесса и конструктивного объекта являются первичными. Для конструктивного процесса характерно изменение по шагам согласно четко указанным правилам с элементарными, заведомо отличающимися друг от друга объектами, считающимися неразложимыми в ходе этих процессов. Возникающие в результате фигуры, составленные из исходных элементарных объектов, суть конструктивные объекты .

III. Классическая математика.

Характер той или иной математической теории существенно определяется характером абстракций, т. е. мысленного отвлечения от реальности путем идеализации и разнообразных многоступенчатых конструкций – наслоений. При этом суждения об абстрактных объектах, возникающих в результате наслоения далеко идущих идеализаций, требуют разработки особых способов их понимания, так называемую семантику.

Логический аппарат, допустимый для данной математической теории, зависит от исходных понятий и включает вид математической абстракции, положенной в основу понятий математической теории: классическая, интуиционистская и конструктивная математика.

Абстрактные объекты, в том числе математические модели, охватывают класс абстрактных (символических) математических объектов . Изучению подлежат:

1. Объекты содержательно-абстрактные, структурные, теоретические , т. е. отображающие некоторые фундаментальные свойства физических объектов, представленные в виде идеализации высшего порядка.

2. Структуры: класс неопределяемых объектов (абстрактных, символических, математических), например, числа или векторы и отношения между этими объектами в виде гипотетических правил. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций (структур), связывающих абстрактные объекты с другими объектами или множеством объектов. Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы задается с помощью аксиом, вводящих разрешенные операции, которые задают общие отношения между их результатами. Таким образом, сюда входят объекты и их структуры, созданные в теории множеств, алгебре, теоретической арифметике, теории чисел, математическом анализе.

Конструктивное определение вводит новую математическую модель: непротиворечивость аксиоматического определения должна быть доказана конструктивным построением примера, удовлетворяющего определяющим независимым аксиомам.

3. Математические модели, отражающие выбранные свойства физического объекта, когда установлено правило соответствия , связывающее эти свойства и отношения между ними с определенными математическими объектами и отношениями. Так, например, математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия. Определяющие свойства этих моделей представляют собой в некотором приближении абстракции физических процессов: счет, упорядочение, сравнение, измерение.

Объекты и операции более общих математических моделей связываются с множеством действительных чисел, которым можно поставить в соответствие результаты физических измерений. Полученные таким образом математические модели с помощью числовых операций включают: линейные векторные пространства и линейные операторы; тензорное исчисление.

Векторы и линейные операторы представляют физические объекты и операции во многих приложениях. Ряд физических объектов представляется математическими моделями с помощью упорядоченных множеств. Сюда относятся гомоморфизм и изоморфизм, когда математические модели «представляют» соответствующими классами матриц так, что абстрактным математическим операциям соответствуют числовые операции над элементами матриц.

Представление модели, включающей два или более класса объектов, требует введения системы мер, включающей в себя системы отсчета для каждого класса объектов. К специальным математическим объектам относятся тензоры, задаваемые, как правило, в каждой точке пространства и изменяющиеся от точки к точке этого пространства. Таким образом, тензоры суть функции точки, где точками могут быть элементы различной природы, определяемые системами чисел. Каждый тензор может быть аналитически описан упорядоченной системой функций от координат точки (компонент тензора). Функции строятся так, чтобы введенные с их помощью математические соотношения между тензорами не зависели от конкретного выбора аналитической характеристики.