Борис Штерн - Прорыв за край мира

Причем заранее нельзя сказать, каким этот узор получится — он случаен и в то же время подчиняется неким простым законам. То же самое происходит при образовании снежинок — они красивы и симметричны, но также случайны. А образовались они из того же пара.

А сейчас пару слов о теории, которая определила развитие космологии. Теория, с одной стороны, удивительно красива, с другой — сложна в техническом плане. Если читателя пугают формулы и тем более дифференциальные уравнения, то данную главу и, возможно, следующую надо обязательно пропустить. Автор обещает, что в дальнейших главах такого не повторится.

Уравнения Эйнштейна заслуживают того, чтобы предъявить их читателю, конечно, не призывая разобраться. Просто окинуть взглядом. Итак, вот традиционная запись:

R μν— Rg μν = 16 πGT μν/c 2

На первый взгляд это кажется совсем не страшным. Ужас наступает, когда начинаешь разбираться с объектами, из которых состоит уравнение. Все двухиндексные члены — g μνR μν T μν это объекты, называемые тензорами второго ранга. Выглядят как матрицы 4 x 4 — четыре строки, четыре столбца, — но отличаются от обычной матрицы-таблицы тем, что определенным образом преобразуются при изменении системы координат. Кстати, обычный вектор — тоже тензор, только первого ранга. И даже скаляр — тензор, только нулевого ранга. Но когда говорят просто «тензор», чаще всего подразумевается второй ранг.

Тензор g μν называется метрический тензор — это неизвестное в уравнениях. Каждая его компонента является функцией координат и времени. Он определяет не что иное, как свойства пространства-времени в данной точке. Равенство должно выполняться для каждой компоненты матрицы. То есть на самом деле это 16 уравнений:

R 00 - Rg 00/2 = 16 πGT 00/ c 4

R 01 - Rg 01/2 = 16 πGT 01/ c 4

и так далее. Правда, 6 уравнений можно выкинуть из-за симметричности входящих в него тензоров: g μν —g μν. Уравнения — дифференциальные, в частных производных, второго порядка, нелинейные.

T μν — тензор энергии-импульса, составлен из плотности энергии, плотности импульса и тензора напряжений. В уравнениях играет роль внешнего источника.

Идем дальше. R μν — так называемый тензор Риччи, расписывать его уже не стоит, чтобы излишне не запугивать читателя. R — скалярная кривизна, получаемая из тензора Риччи сверткой с тензором g μν . В построении этих объектов участвует аж тензор четвертого ранга — тензор кривизны с четырьмя индексами R αβγδ , составленный из вторых производных компонент метрического тензора. Не приведи бог пытаться расписывать всё это по компонентам! К счастью, такой необходимости на практике не встречается.

Вдаваться в более подробные разъяснения в данной книге не имеет смысла, однако стоит обсудить, откуда такой «ужас» (с точки зрения непрофессионала) или красота (с точки зрения профессионала, знакомого с альтернативными теориями) взялись.

В ньютоновской теории тяготения гравитационное поле описывается очень простым уравнением Пуассона:

ΔΦ = д 2 Φ/д 2 x + д 2 Φ/д 2 y + д 2 Φ/д 2 z = 4 πGρ

здесь Φ — гравитационный потенциал, а ρ — плотность материи. Оно в точности совпадает с уравнением для электростатического потенциала, только вместо Gρ надо подставить плотность электрического заряда. Уравнение Пуассона в отличие от уравнений Эйнштейна линейно, то есть можно суммировать решения, наведенные отдельными массами. Таким образом, зачастую можно не решать уравнения, а просто просуммировать гравитационный или электрический потенциал от разных тел или зарядов, пропорциональный 1/ r : Φ = G ( m 1/ r 1+ m 2/ r 2+ …). Но ни уравнение ньютоновской гравитации, ни уравнение электростатики не могут оставаться верными, как только мы допускаем возможность движения тел и зарядов и вооружаемся специальной теорией относительности. Уравнение Пуассона предполагает бесконечную скорость распространения сигнала (сдвинули тело — и гравитационный потенциал вдали от него мгновенно изменился). Но специальная теория относительности запрещает мгновенное распространение сигнала, значит, уравнение Пуассона придется отбросить и описывать действительность более сложными уравнениями, куда обязательно должна входить скорость света.

Чтобы примирить электростатику с теорией относительности, приходится объединить электрическое поле с магнитным — описать их единой системой уравнений. Это будут знаменитые уравнения Максвелла. Максвелл ничего не знал про теорию относительности, но в его уравнениях с ней всё в порядке. Когда мы двигаем заряд, появляется магнитное поле и электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. Электрическое поле от удаленного заряда изменится не раньше, чем дойдут волны. И при переходе от одной системы отсчета к другой всё меняется логично. Всё в порядке.

Уравнения Максвелла в своей исторической форме довольно сложно запоминаются. Но если перейти от электрического и магнитного полей к четырехмерному векторному потенциалу A μ ( A 0— обычный электрический потенциал, A 0, A 2, A 3— трехмерный вектор, из производных которого получается магнитное поле), мы получаем нечто, удивительно похожее на уравнение Пуассона:

□ A μ= - 4 πj μ/c

где знаком □ обозначена конструкция д/дх 2+ д/дy 2+ д/дz 2— 1/с 2 д/дt 2, называемая оператором Д’Аламбера, j μ — четырехвектор плотности тока: j o =r — плотность заряда, j 1, j 2, j 3— плотность тока. Что изменилось? Уравнений стало четыре — по одному для каждого значения μ . Слева к сумме вторых производных по пространственным координатам добавилась еще производная по времени, но с противоположным знаком и квадратом скорости света в знаменателе. Итак, имеем четыре уравнения для четырехкомпонентного поля, в каждом уравнении слева сумма вторых производных по четырем координатам. Почему всего тут по четыре? Потому, что специальная теория относительности делает наш мир существенно четырехмерным, только время надо брать с коэффициентом 1/ с и знаком минус. Все физические вектора по сути четырехмерны, например, четвертой компонентой для импульса частицы является энергия. Получается, если записывать уравнения Максвелла в естественном для нашего мира четырехмерном представлении, они становятся удивительно простыми.

Чем линейная теория отличается от нелинейной

«Линейная теория» — жаргон, так же как и «нелинейная теория», но в науке этот термин используется часто. Первая описывается линейными дифференциальными уравнениями, вторая, естественно, нелинейными. Различие между ними огромно как с точки зрения техники решения, так и с точки зрения мира описываемых явлений.