Борис Штерн - Прорыв за край мира

(ȧ/a ) 2 = const/a 4,

или

ȧ = const/a

Решение в данном случае

a(t) = const·t 1/2

Получается, что ранняя Вселенная, в которой давление материи огромно, расширяется по более медленному закону ( t 1/2), чем нынешняя ( t 2/3). Это, казалось бы, противоречит здравому смыслу. Но так диктуют уравнения. Запомним этот странный факт — дальше будет еще интересней.

В этой главе автор допускает некоторое занудство, приводя подробную серию выкладок, чтобы дотошный читатель мог проследить, как и откуда берутся парадоксальные явления, связанные с появлением Вселенной на свет. Здесь уже нет уравнений в частных производных, только обыкновенные простейшие дифференциальные уравнения, метод решения которых изложен на врезке.

Выше мы допустили, что пространство может быть заполнено неким скалярным полем, которое мы напрямую не ощущаем. Сейчас мы знаем по крайней мере один пример фундаментального скалярного поля — поле Хиггса. Квант этого поля (бозон Хиггса) недавно открыт на Большом адронном коллайдере. Еще одним примером скалярного поля может оказаться темная энергия, доминирующая в плотности энергии современной Вселенной, хотя в этом случае возможны разные интерпретации.

Абстрагируясь от конкретных примеров, предположим, что Вселенная заполнена однородным и постоянным во времени скалярным полем. Допустим, это поле имеет ненулевую плотность энергии, которую обозначим, как ε. Как это поле будет влиять на Вселенную?

Чтобы правильно вставить скалярное поле в уравнение Фридмана, осталось выяснить его уравнение состояния: как давление скалярного поля зависит от его энергии. Представим себе чудесный ящик (чудесный, поскольку в реальном мире такое воспроизвести невозможно), заполненный скалярным полем, вне которого поле равно нулю. Пусть у ящика есть выдвижная стенка с ручкой, которую можно вытягивать, увеличивая объем ящика. Потянем за стенку, отодвинув ее наружу на расстояние l . Объем ящика с полем увеличился на sl , где s — площадь стенки ящика. Значит, энергия поля в ящике увеличилась на εsl . Она увеличилась за счет того, что мы совершили работу Fl , где F — сила, с которой мы тянули, — она равна - ps (минус появляется из-за того, что сила направлена против давления). Итак, приравнивая работу приращению энергии, имеем εsl = -psl , значит, уравнение состояния (т.е. связь между плотностью энергии и давлением) для однородного и постоянного во времени скалярного поля: р = -ε .

Это особое уравнение состояния: единственное с ненулевой плотностью энергии, которое лоренц-инвариантно, т.е. не выдаст наблюдателю, с какой скоростью он движется. Наблюдатель в любой системе отсчета будет «видеть» то же самое: плотность энергии ε , давление р = -ε . Сравним с пространством, заполненным пылью: в системе отсчета, где пыль покоится, наблюдатель видит плотность энергии рс 2, давление 0. Для наблюдателя, движущегося с лоренц-фактором Γ относительно пыли, плотность энергии равна Γ 2 рс 2, кроме того, с его точки зрения в тензоре энергии-импульса появляются недиагональные элементы (компоненты импульса частиц пыли).

Благодаря лоренц-инвариантности такое уравнение состояния называют «вакуумным», подразумевая под вакуумом среду, которая не содержит частиц или переменных полей, не имеет температуры, лоренц-инвариантна, но не обязательно имеет нулевую плотность энергии.

Отрицательное давление само по себе не должно сильно удивлять. Из бытовых явлений самую близкую по смыслу демонстрацию дает поверхностное натяжение. Закрыв глаза на то, что это двумерный случай, имеем аналогию: мыльный пузырь. Поверхностное натяжение на пузыре не зависит от размеров последнего, при надувании пузыря любой элемент его поверхности не меняется, только поверхность становится более плоской. Вспомним теперь демонстрацию расширяющейся Вселенной в виде надуваемого шарика и заменим резиновый шарик на мыльный пузырь — на поверхности ничего нарисовать нельзя, зато состояние элемента «пространства» при надувании не меняется. Натяжение остается прежним.

Вернемся к вселенной, заполненной скалярным полем. Мыльный пузырь за счет поверхностного натяжения стремится сжаться — если из пузыря внезапно исчезнет воздух — он сожмется. А вселенная?

Оказывается, отрицательное давление (натяжение) заставляет вселенную расширяться с ускорением.

Чтобы показать это, снова обратимся к уравнению Фридмана. Выше мы выписали его для двух вариантов уравнения состояния — пылевидного (р = 0) и ультрарелятивистского ( р = 1/3 ε ). Сделаем это для общего случая пропорциональной зависимости р = ωε . Как меняется плотность энергии с изменением масштабного фактора? Во-первых, она меняется с изменением объема как

dΕ = -dVε/V · ε = -3 daε/a

Во-вторых, плотность энергии меняется из-за того, что давление совершает работу:

dΕ = -pdV/V = -3 pda/a ,

в сумме:

dΕ/da = -3( p + ε ) /a = - 3 ε · (1 + ω) /a

Решение этого уравнения:

ε = ε 0a -3(1+ ω )

где ε 0 — константа размерности плотности энергии, конкретное значение которой зависит от выбора времени отсчета; положим а = 1.

Подставим его в уравнение Фридмана:

ȧ/a = √(8 π /3 Gε 0)· a -3/2(1+ ω )

или

da/dt = H 0· a 1-3/2(1+ ω )

Константа Н 0= 8 π /3 Gε 0имеет размерность, обратную времени, — это не что иное, как постоянная Хаббла в момент, когда мы зафиксировали а = 1. Чтобы не мучиться с размерным временем в разных степенях, обезразмерим его, положив далее t = t rН 0, где t r — время, выражаемое, например, в секундах, а постоянная времени 1/ Н 0зависит от того, на каком промежутке истории Вселенной мы работаем, — это может быть 10 -37с, если речь идет о самой ранней Вселенной, или 10 млрд лет для современной.

Решение уравнение Фридмана с таким безразмерным временем (см. врезку):

a = t 2/3 1/(1+ ω )

Если ω = -1, т.е. р = -ε , как в вакууме, то показатель степенной зависимости от времени становится бесконечным — в этом случае масштабный фактор растет экспоненциально (см. ниже). Если ω = -1/3, то рост идет по линейному закону с постоянной скоростью: а = t . Если ω > -1/3, то показатель степени меньше единицы и расширение идет с замедлением. А если -1 < ω < -1/3, то расширение пространства ускоряется со временем.

Ускоренное расширение при р < -1/3 ε можно интерпретировать как действие силы гравитации, которая стала расталкивающей. Этот факт сам по себе поразителен — гравитация издревле отождествлялась с тяготением. Правда, этим свойством отталкивания нельзя воспользоваться, как антигравитацией в фантастических романах. Поле с отрицательным давлением должно занимать огромное пространство, больше размеров горизонта, иначе на краях оно будет очень быстро падать и «выгорать», стремясь сжаться. К тому же поле должно быть весьма однородным внутри этого пространства, поскольку любые его перепады (градиент) дают вклад в притяжение. Чтобы расталкивание сработало, расширение должно быстро вынести все «края» пространства, занимаемого полем, за горизонт. Таким образом, расталкивающий эффект гравитации не может сделать ничего, кроме как создать огромную вселенную или раздуть уже существующую.