Борис Штерн - Прорыв за край мира

Линейное дифференциальное уравнение состоит из производных неизвестной функции и самой неизвестной функции в первой степени. Первая степень позволяет складывать решения и умножать их на произвольную константу — то, что получится, всё равно будет решением. Мир линейных уравнений оказывается простым: можно суммировать поля от разных источников, можно разлагать сложные конфигурации на простые (типа плоских волн) и рассматривать эволюцию каждой из них по отдельности. Волны, описываемые линейными уравнениями, спокойно проходят друг через друга, складываясь в интерференционную картину, и расходятся, ничуть не изменившись. Линейный мир прост, но неинтересен — в нем не получишь сложных стабильных структур.

Достаточно ввести в уравнение квадрат неизвестной функции или ее произведение на ее же производную — и мир меняется. Сумма решений уже не является решением, волны уже не проходят спокойно друг через друга, а взаимодействуют, появляются новые сущности, та кие как солитоны. Кстати, протоны и нейтроны в некоторых упрощенных моделях сильных взаимодействий появляются именно как солитоны, а описывающая их теория, квантовая хромодинамика, существенно нелинейна.

Часто бывает так, что возмущения какой-либо среды описываются линейными уравнениями, пока они остаются малыми. Как только их амплитуда становится большой, проявляется нелинейность. Пример — обычные волны на поверхности воды. Рябь линейна с хорошей точностью, а большие океанские волны уже нелинейны из-за сложной аэро- и гидродинамики. Отсюда и получается знаменитый девятый вал и «волны-убийцы». Гравитационные волны тоже линейны, когда они слабые, а когда, например, сливаются две черных дыры, нелинейность переменного гравитационного поля чудовищна. Самая распространенная причина нелинейности — взаимовлияние. Например, сливаются два автомобильных потока. Если они редкие, машины продолжают двигаться стой же скоростью, потоки просто суммируются. Если потоки интенсивные, машины начинают мешать друг другу, скорость падает зачастую до нуля. Это и есть нелинейный эффект. Все варианты самоорганизации в живой и неживой природе — тоже результат нелинейности. Можно сказать, что эволюция -очень длинная цепь нелинейных эффектов.

12.1. И. Айвазовский. Нелинейная волна

Но в этой главе речь идет в основном не об электромагнитном поле, а о гравитации. Нельзя ли сделать с гравитацией то же самое? Добавим к гравитационному потенциалу еще три компоненты (появится еще гравимагнитное поле, которое мы не чувствуем из-за слабости земной гравитации), и пусть они подчиняются точно такому же уравнению, только справа поставим плотность энергии и поток импульса, помноженные на гравитационную постоянную. Со специальной теорией относительности будет всё в порядке. Получится то, что можно было бы назвать «векторной гравитацией». Вышла бы очень простая теория. Уравнения, как и уравнения Максвелла, были бы линейными, гравитационное поле от разных источников было бы суммой полей каждого. Автору не хватает фантазии представить себе, как вела бы себя в таком мире мощная гравитация, но можно точно сказать, что ничего похожего на черные дыры в таком мире не существовало бы.

Впрочем, ничто не ново под луной, в том числе и любое наивное предположение. Именно такую векторную гравитацию предложил Пуанкаре в 1905 году. Оказалось, теория внутренне противоречива и не может описывать наш мир. В такой теории либо одноименные заряды отталкиваются, либо энергия волн отрицательна.

Для гравитации требовалось нечто более сложное: не векторное, а тензорное поле. Почему тензорное, поясним ниже, а сейчас прикинем, во что должно превратиться уравнение с оператором Д’Аламбера, если его обобщить на случай тензорного поля. Математически тензор — матрица (для нашего мира его естественная размерность 4 х 4), определенным образом преобразующаяся при изменении системы координат. Обозначим поле-тензор j\ По аналогии мы вправе ожидать, что уравнение будет выглядеть следующим образом:

F μν = 4 πGT μν ,

где тензор F μν состоит из длинной суммы всевозможных вторых производных д 2f βν/дx αдx μ. Имеем 16 уравнений для 16 переменных, которыми являются элементы тензора f μν . Расписывать их не будем — они простые, но громоздкие — это всего лишь обобщение уравнения с оператором Д’Аламбера с векторного поля на тензорное. Конкретный вид F μν выводится из тех соображений, чтобы в пределе малого поля он воспроизводил ньютоновскую гравитацию. Это тоже линейная теория, в уравнении фигурируют только вторые производные от f μν в первой степени. У такой теории тоже всё в порядке со специальной теорией относительности. В такой теории решения также суммируются — поле тяготения двух слившихся нейтронных звезд будет равно сумме полей тяготения каждой из них. Гравитационные волны в такой теории есть, однако никаких черных дыр нет. Но теория гравитации, описываемая таким уравнением, еще не может называться общей теорией относительности. Такой теории не существует. Не хватает одного важнейшего шага.

Этот шаг сделал Эйнштейн, основываясь на универсальности тяготения. Еще в XIX веке с высокой точностью была доказана эквивалентность инертной и гравитационной масс. Но если все тела подчиняются гравитации одинаковым образом, то ее влияние можно представить искривлением четырехмерного пространства. Траектории всех тел, предоставленных самим себе, в искривленном пространстве являются геодезическими линиями, т.е. прямыми в том смысле, в котором земной меридиан или траектория рейса Москва — Сан-Франциско через Арктику являются прямыми. Если тело вращается по орбите — оно описывает кратчайшую траекторию в кривом пространстве-времени.

Если гравитация искривляет пространство, то как должно выглядеть гравитационное поле? Что, если его выразить через параметры, описывающие свойства пространства? Тогда это будет метрический тензор, традиционно обозначаемый g μν . В нашем плоском пространстве Минковского g μν — диагональная матрица, по диагонали 1, —1, —1, -1 (скорость света положили равной единице). В кривом пространстве появляются недиагональные элементы, диагональ меняется тоже.

А как изменится уравнение для гравитационного поля, коль скоро оно и есть метрический тензор? Существуют выделенные системы отсчета — инерциальные. К такой системе относится космический корабль с выключенными двигателями — в его кабине царит невесомость. При этом нет никакой разницы, движется ли он прямолинейно в отсутствии поля тяготения, движется ли по орбите, падает ли в черную дыру, — важно, что в кабине невесомость. В такой системе уравнение локально будет иметь именно такой вид, как написано выше, — с линейным тензором F μν , но тензор будет иметь уже другой смысл. Он называется тензором Эйнштейна и обозначается G μν . Еще раз: эти тензоры совпадают по виду только в локально-инерциальной системе отсчета.