Борис Штерн - Прорыв за край мира

Как построить четырехмерную координатную сетку из таких систем, которые где-то движутся по орбите вокруг тяготеющего центра, где-то падают в черную дыру? Работать в такой кривой системе координат невозможно, даже если теория в ней проста. А как перейти к какой-нибудь глобальной системе координат? С помощью той же метрики! И тогда в уравнение кроме вторых производных g μν войдут множителями их первые производные и сами матрицы g μν да еще обратные к ним матрицы g μν . Их пришлось ввести дополнительно, чтобы перейти из локально-инерциальной в глобальную систему координат. Но они же являются переменными в уравнении. И уравнения получаются нелинейными, причем сильно нелинейными — их нельзя выразить степенями элементов метрического тензора. И теория оказывается существенно нелинейной: две слившиеся нейтронные звезды дадут поле, заметно отличающееся от суммы полей каждой. На самом деле физическое слияние двух нейтронных звезд приведет к их коллапсу в черную дыру. Но если пренебречь физическими процессами и просуммировать несколько нейтронных звезд «теоретически», то они станут черной дырой автоматически — окажутся под горизонтом Шварцшильда, что означает неминуемый коллапс в сингулярность. Этот коллапс никакие силы не в состоянии предотвратить, так же, как никакие силы не могут помочь преодолеть скорость света. Тут коллапс в бесконечно плотное состояние (на самом деле — в планковское состояние, см. главу 15) становится делом не столько физики, сколько геометрии: все мировые линии ведут в центр.

Такова плата за геометричность теории гравитации, или, другими словами, за ее универсальность и всеобщность. Выражения стали сложными, хотя теория минимальна — все ее модификации могут быть только сложнее. Зато в теории появились чудеса, такие как черные дыры или нестационарная вселенная.

Эйнштейн, конечно, пришел к этим уравнениям совсем другим путем, и на этом пути немалую роль сыграл Гильберт, мы просто постарались набросать естественную логическую цепочку, ведущую к общей теории относительности через более простые конструкции.

12.2. Явление, непосредственно связанное с одним из решений общей теории относительности, найденных аналитически (решение Керра для вращающейся черной дыры): джет ядра галактики М87. Это релятивистская струя замагниченной плазмы, индуцируемая непосредственно вращающейся черной дырой, погруженной во внешнее магнитное поле. Именно эта черная дыра, возможно, будет первой, которую удастся «разглядеть» с помощью микроволновых космических интерферометров. На данном снимке для этого не хватает пяти порядков по разрешению. Снимок космического телескопа «Хаббл» (NASA)

Разумеется, уравнения Эйнштейна решать сложно. В общем случае они поддаются только численному перемалыванию на суперкомпьютерах. Аналитические решения, не сводящиеся к малым поправкам для ньютоновского тяготения, можно пересчитать по пальцам. Из решений, наверняка имеющих отношение к реальности, это черные дыры Шварцшильда (не вращающиеся), вращающиеся черные дыры Керра, гравитационные волны, однородная изотропная вселенная Фридмана и де Ситтера. Есть аналитические решения, представляющие, скорее, академический интерес — заряженные черные дыры, однородная анизотропная вселенная и еще несколько. Есть много решений, описывающих кротовые норы с разными уравнениями состояния вещества. Имеют ли они отношение к реальности, пока не известно.

Нас интересуют уравнения для однородной изотропной вселенной, каковой является наша. Это самый простой случай. Из-за однородности и изотропии в уравнениях выпадают все производные g μν по координатам, остаются только производные по времени. Тензор энергии импульса становится диагональным, по диагонали стоят ε, -р, -р, -р , где ε — плотность энергии, р — давление. Метрический тензор при этом выражается всего через два параметра — масштабный фактор a ( t ) и кривизну трехмерного пространства k/R(t). При этом к определяет знак кривизны ( k = 1 для замкнутой вселенной, k = -1 для открытой и k = 0 для плоской), a R(t) — радиус кривизны вселенной. Первое уравнение Эйнштейна (с индексами 0, 0) принимает вид:

( ȧ/a ) 2= 8 πGε /3 — κ/R ( t ) 2,

где — ȧ производная масштабного фактора по времени, a R(t) пропорционален масштабному фактору: R(t) = R o·a(t). Это и есть уравнение Фридмана, описывающее однородную изотропную вселенную. Оно получено только из первого (0, 0) уравнения Эйнштейна, но остальные уравнения либо нулевые, либо ему тождественны. Напомним, в простейшей модели Вселенной знак трехмерной кривизны определяет ее судьбу: если k > 0, то за расширением последует сжатие («закрытая» Вселенная); если k < 0 («открытая» Вселенная), то расширение будет вечным; если k = 0 («плоская» Вселенная), то скорость расширения со временем будет стремиться к нулю. Сейчас мы знаем, что величина R настолько велика, что влияние члена k/R 2на динамику Вселенной незаметно на довольно хорошем уровне точности. Раньше ее влияние было еще меньше, поэтому для дальнейшего анализа последний член в уравнении Фридмана можно отбросить.

Уравнение стало совсем простым, остается найти зависимость плотности энергии от масштабного фактора. Для этого надо знать уравнение состояния, дающее связь между плотностью энергии и давлением и зависящее от того, чем заполнена Вселенная. Самое простое и весьма правдоподобное предположение — давление равно нулю. Это так, если основная часть материи во Вселенной сосредоточена в звездах и холодном газе. Сейчас мы знаем, что гораздо большая часть массы Вселенной заключается в темной материи. Но мы также знаем, что темная материя состоит из сравнительно медленно движущихся частиц, которые не создают давления. В случае нулевого давления плотность энергии (она же просто плотность, помноженная на с 2) ε ~ а -3, поскольку масса вещества в сопутствующем объеме V ~ а 3остается постоянной. В этом случае уравнение Фридмана принимает совсем простой вид:

ȧ = const·a -1/2

Как решаются подобные простейшие дифференциальные уравнения, объяснено во врезке. В данном случае его решение:

a(t) = const·t 2/ 3

В конце 1990-х оказалось, что предположение о нулевом давлении в современной Вселенной неверно, и закон расширения другой. Об этом чуть ниже.

Есть еще один жизненно важный вариант уравнения состояния Вселенной — ультрарелятивистский:

р = 1/3 ε ,

возникающий, когда основная масса частиц движется со скоростью света или близкой к ней. Такое уравнение состояния у Вселенной было в первые 80 тыс. лет ее существования. При расширении Вселенной плотность энергии релятивистского содержимого падает как 1/а 4 (число частиц в единице объема падает как 1/а 3 , и энергия каждой частицы падает как 1/а , что проще всего представить как растяжение волны фотона вместе с пространством: λ ~ а ). Уравнение Фридмана приобретает вид: