Андрей Варламов - Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Ответы на эти вопросы мы найдем, ознакомившись более подробно с явлением гравитации, законы которой также были открыты Ньютоном.

1. Скалы Этрета во время отлива и прилива. Амплитуда прилива (то есть разница высоты воды на одном и том же месте) здесь достигает порядка 10 м. Для сравнения: во внутреннем море, таком как Средиземное, амплитуда прилива составляет примерно 10 см

Легенда гласит, что Ньютон открыл закон всемирного тяготения, когда отдыхал под яблоней и увидел падающее яблоко (илл. 2). Это, сказал он себе, доказательство того, что Земля воздействует на яблоко некоей силой притяжения. Очевидно, подобная сила действует не только на яблоко, но и на все находящиеся рядом с Землей объекты. Но почему только рядом с Землей? Ньютона посетила гениальная догадка: притяжение должно быть универсальным и, следовательно, осуществляться также между Солнцем и планетами, и – более общо – между всеми обладающими массой объектами!

Падение яблока и движение планет объяснимы, если допустить, что два тела массой M и m , находящиеся на расстоянии D , притягивают друг друга (илл. 3) с силой, равной

где G – константа, называемая гравитационной постоянной. Согласно основному закону динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), плод под воздействием силы притяжения, с которой Земля действует на яблоко, падает на Землю с ускорением. Именно это, бросая камни с Пизанской башни, и наблюдал чуть ранее Галилей (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»). При этом ускорение яблока оказывается равным g = G M З / R З 2, где M З – масса Земли, а R З – ее радиус. Этот радиус (около 6400 км) был известен со времен Античности, и ускорение свободного падения g (приблизительно равное 10 м/с 2) было измерено экспериментально. Предполагая, что плотность Земли примерно одинакова, Ньютон смог оценить и порядок величины массы M З , а уже зная ее, – вычислить константу G.

Точное значение G, известное сегодня, составляет 6,674∙10 –11м 3∙кг –1∙с –2. Оно невелико! Гравитационное притяжение между протоном и электроном незначительно по сравнению с электростатическим притяжением, которое также обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для крупного же объекта, такого как Земля, сила притяжения достаточна, чтобы удерживать нас на поверхности планеты… и чтобы мы потирали ушибы, упав с дерева.

2. Ньютон за несколько секунд до открытия закона всемирного тяготения. Плод, ставший причиной несчастий Евы, помог Ньютону обрести бессмертие

В отличие от яблока, Луна не падает на Землю, а Земля – на Солнце. Почему? Ведь закон всемирного тяготения работает также и в этих случаях. Чтобы понять причину, достаточно простого расчета, но, очевидно, этот парадокс казался невероятным многочисленным современникам Ньютона. Он остается немного удивительным и для нас; давайте вспомним, как он объясняется.

Если бы действие гравитационного притяжения Солнца на Землю внезапно прекратилось, то она, согласно принципу инерции (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), продолжила бы свой путь, равномерно удаляясь от Солнца по касательной к своей прежней орбите. Следовательно, именно притяжение Солнца не позволяет Земле удалиться от него, но этой силы недостаточно, чтобы заставить Землю на него «упасть». Эту ситуацию проще всего проанализировать с помощью понятия центробежной силы (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»), которая возникнет при применении основного принципа динамики к описанию движения тел во вращающейся системе. Если система вращается с угловой скоростью Ω вокруг неподвижного центра O, то центробежная сила, действующая на тело массой m на расстоянии D от центра, есть

F = m Ω 2 D .

Эта сила направлена по радиусу в направлении от центра круговой траектории. В случае Земли, вращающейся вокруг Солнца, центробежная сила F → 2точно компенсирует гравитационную силу F → 1, с которой ее притягивает Солнце, и поэтому планета на него не падает. При этом Земля двигается вокруг Солнца по кругу радиусом D С с угловой скоростью

где M С – масса Солнца. На самом деле Земля описывает вокруг Солнца не окружность, а эллипс [3] Эксцентриситет орбиты Земли (отношение расстояния между фокусами и длиной большой оси) в настоящее время составляет 0,017, то есть довольно близок к 0, что соответствовало бы кругу. Эксцентриситет эллипса, описываемого Луной вокруг Земли, – 0,055. .

3. Закон гравитации. Два объекта A и B на расстоянии D притягивают друг друга с силой, пропорциональной 1/ D 2

4. Притяжение, осуществляемое небесным телом (Солнцем или Луной) на предмет на Земле. В центре Земли O гравитационная сила уравновешена центробежной силой. В точке A гравитационная сила больше, чем центробежная. В точке B гравитационная сила слабее центробежной. Равнодействующая F →этих двух сил обозначена красной стрелкой. Таким образом, вода в океанах притягивается небесным телом в точке A, а отталкивается в точке B

Заметим, что эту же величину угловой скорости можно было бы найти и исходя из второго закона Ньютона, записанного для тела, движущегося под действием силы тяготения Солнца и в инерциальной системе отсчета. Однако вычисления в этом случае оказались бы значительно сложнее.

Закон всемирного тяготения, как заметил Ньютон, объясняет движение Земли вокруг Солнца и движение Луны вокруг Земли. Он показал, что этим законом объясняются и приливы.

Для изучения приливов нужно учитывать взаимодействие между Землей, Луной и Солнцем, что требует чересчур сложных вычислений. Поэтому мы начнем с гипотетической ситуации, будто Луны не существует (чрезмерное допущение в случае приливов, но оно упростит объяснение), и рассмотрим Землю и Солнце как два отдельных тела.