Андрей Варламов - Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Это соотношение называется формулой Лапласа, в честь физика, который вывел его в 1806 году (см. главу 5, «Высота приливов и их прогнозирование»). Избыточное давление Δ P тем больше, чем меньше пузырь. Вы легко можете проверить его справедливость, соединив два пузырька разного размера тонкой трубочкой: маленький пузырь тут же станет расти, а большой – уменьшаться!

Для миллиметрового пузыря значение избыточного давления составляет порядка одной тысячной от атмосферного. Для пузырька газа в воде σ’ = σ, и избыточное давление оказывается в два раза меньше, чем в мыльном пузыре того же радиуса.

Воспользовавшись формулой Лапласа, мы можем предсказать, какую форму примет система из нескольких пузырьков в пене. Рассмотрим два пузыря радиусом R 1 и R 2 соответственно (илл. 7). Избыточное давление внутри каждого из них равно соответственно Δ P 1 = 2σ’/ R 1 и Δ P 2 = 2σ’/ R 2 . Мыльная пленка, разделяющая два этих пузырька, является сферической поверхностью, изгиб которой должен уравнивать разность давлений Δ P 2 и Δ P 1 . Таким образом, радиус R 3 определяется формулой (2), с R = R 3 в знаменателе и Δ P = Δ P 2 – Δ P 1 :

7. Соприкосновение двух пузырей. Плоскости, касательные к поверхностям двух пузырьков, должны иметь между собой и плоскостью, касательной к перегородке Γ, углы 120°, а радиусы пузырьков – удовлетворять соотношению 1/ R 3 = 1/ R 2 –1/ R 1 , где R 2 – радиус меньшего пузыря. В таком случае устанавливается равновесие между воздействующими на поверхность силами поверхностного натяжения F 1 и F 2 и силой поверхностного натяжения, возникающей на внутренней перегородке между пузырьками

Какую форму принимает капля на твердом теле? В отличие от случаев контакта между двумя пузырями, где работает только поверхностное натяжение σ, сегодня ученые различают три типа межповерхностных натяжений: σ жг , σ жт , σ тг , которые соответствуют границам между жидкостью и газом, жидкостью и твердым телом, а также между твердым телом и газом. В зависимости от значений этих трех параметров капля в большей или меньшей степени растекается по поверхности. Степень этого «растекания» измеряется углом α между касательной к поверхности капли и плоскостью, на которой она лежит, в точке их соприкосновения (см. илл.).

Капля жидкости частично смачивает твердую поверхность

На общей для всех трех сред границе Γ на единицу ее длины действуют три силы: две из них, σ жт и σ тг , параллельны поверхности, третья, σ жг , направлена по касательной к поверхности капли (все они обозначены на иллюстрации красным цветом). Граница Γ должна оставаться на поверхности опоры. Поэтому для равновесия достаточно, чтобы сумма проекций сил на плоскость опоры была равна нулю, то есть:

σ тг = σ жг cos α + σ жт .

Это так называемое уравнение Дюпре – Юнга. Косинус угла контакта может изменяться от 1 до –1, что соответствует условию – σ жг < σ тг – σ жт < σ жг . При выполнении этого условия говорят, что имеет место частичное смачивание . Капля при этом образует сферический купол.

В случае когда σ тг – σ жт > σ жг , капля растекается до тех пор, пока это возможно, образуя при этом очень тонкую пленку. Это так называемый случай полного смачивания .

Если же σ тг < σ жт – σ жг , то капля отделяется от опоры, не смачивая ее совсем. Возможно, читателю приходилось видеть капельки ртути на столе около разбитого термометра (см. илл.) или скатывающиеся по перьям утки капельки воды – это примеры отсутствия смачивания.

Капли ртути не смачивают поверхность. Маленькие капли имеют четкую сферическую форму, большие – сплющены силой тяжести

Однако одного этого соотношения оказывается недостаточно для описания геометрической формы обоих пузырьков и границы между ними.

Недостающее геометрическое соотношение можно вывести, если вспомнить, что силы поверхностного натяжения, действующие в любой точке A окружности Γ, ограничивающей поверхность, должны уравновешивать друг друга (то есть их векторная сумма должна быть равна нулю). Этих сил всего три, каждая направлена по касательной к одной из сфер (1, 2 или 3), и они стремятся сжать соответствующие шаровые сегменты. Все три силы равны по модулю (который составляет отношение σ’ к единице длины). Таким образом, для достижения равновесия они должны попарно составлять между собой углы в 120° (илл. 8). Аналогичное рассуждение позволяет определить и форму капли на твердой плоскости (см. главу 6, врезку «Капля на поверхности»).

Пена образуется из очень большого количества пузырьков, однако ее структура определяется из тех же условий, которые мы использовали выше для двух пузырей.

8. Мыльные пузыри на плоской поверхности. Углы, образованные стенками, соединяющими между собой три пузырька, составляют 120°. В плотной пене шесть разделяющих плоскостей между четырьмя соприкасающимися пузырьками обладают симметрией тетраэдра: они образуют углы в 109,5°

Необычные формы, которые могут принимать мыльные пузыри, далеко не ограничиваются одной сферой. Если мыльная пленка не свободна, а натянута на некоторую рамку, то она порой образует удивительные, кажущиеся невозможными фигуры! Давайте начнем с погружения двух одинаковых колец в мыльную воду. Приложив толику усердия и аккуратности, мы можем получить пузырь в форме цилиндра, накрытый с обеих сторон сферическими «шапками» (илл. 9). Перепад давления Δ P внутри и снаружи пузыря связан с радиусом цилиндра R по формуле, аналогичной формуле Лапласа, но без коэффициента 2: