Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Сейчас мы выведем первую правильную формулу квантовой механики. Предположим, что дозволенные уровни энергии гармонического осциллятора лежат на равном расстоянии ℏω 0друг от друга, поэтому осциллятор может обладать только одной из этих энергий (фиг. 41.5).

Фиг. 41.5. Уровни энергии гармонического осциллятора. Отстоят друг от друга но равных расстояниям E n =nℏω.

Аргументы Планка выглядят немного сложнее наших, ведь это было самым началом квантовой механики, и ему приходилось кое-что доказывать. Ну, а мы просто примем как факт (который Планк и установил), что вероятность того, что занят уровень энергии Е , равна Р ( Е )=α ехр (- E / kT ). Исходя из этого, мы получим правильный результат.

Предположим, что у нас есть много осцилляторов и каждый колеблется с частотой ω 0. Некоторые из них находятся в низшем квантовом состоянии, другие забрались на уровень выше и т. д. Нам нужно знать среднюю энергию этих осцилляторов. Чтобы найти ее, давайте вычислим полную энергию всех осцилляторов и поделим результат на их число. Тогда мы получим среднюю энергию на осциллятор при тепловом равновесии, а это то же самое, что и энергия при равновесии с излучением черного тела, и ее надо подставить в уравнение (41.13) вместо kT .

Пусть N 0— число осцилляторов в основном состоянии (состоянии с наименьшей энергией), N 1— число осцилляторов в состоянии Е 1, N 2— число осцилляторов в состоянии E 2и т. д. Согласно гипотезе (которую мы не доказали), классические выражения для вероятности ехр(-п. э./kT) или ехр(-к. э ./ kT ) заменяются в квантовой механике на ехр(-Δ E / kT ), где ΔE — разность энергий. Можно утверждать, что число осцилляторов в первом состоянии N 1равно произведению числа молекул в основном состоянии N 0на ехр(-ℏω/kT). Аналогично, N 2(число молекул во втором состоянии) равно N 2= N 0exp(-2ℏω/kT). Чтобы упростить алгебру, введем х =ехр(-ℏω/ kT ). Тогда все выглядит очень просто:

Сначала найдем полную энергию всех осцилляторов. Если осциллятор находится в основном состоянии, его энергия нуль. Если он находится в первом состоянии, то его энергия равна ℏω 0, а таких осцилляторов N 1. З начит, в этом состоянии запасена энергия N 1 ℏ ω, или ℏ ω N 0 x . Энергия осциллятора во втором состоянии 2ℏω 0, а осцилляторов N 2, поэтому мы получаем такую энергию: N 22ℏω=2ℏω 0N 0x 2и т. д. Сложив все это, найдем полную энергию E полн = N 0 ℏ ω (0+ х +2 х 2+ Зx 3+...).

А сколько всего осцилляторов? В основном состоянии, конечно, N 0, в первом состоянии N 1и т. д.; снова все сложим и получим N вcе= N 0(1+ x + x 2+ x 3+...). Поэтому средняя энергия равна

(41.14)

Читателям представляется возможность позабавиться этими суммами и получить от этого удовольствие. Когда вы покончите с суммированием и подставите в окончательный результат значение х , то получите, если не ошиблись

(41.15)

Эта формула была не только самой первой формулой, но и самой первой мыслью квантовой механики, и она явилась великолепным ответом на все недоумения предшествующих десятилетий. Максвелл уже понимал, что что-то неверно, но вопрос был в том, что же правильно ? Здесь содержится количественный ответ — что же надо взять вместо kT . Выражение для энергии, конечно, стремится к kT при ω→0 или при Т →∞. Попробуйте это доказать — здесь надо поступить так, как этому учит математика.

Выражение для средней энергии содержит знаменитый обрезающий множитель, который предвидел Джинс, и если использовать его вместо kT в (41.13), то мы получим распределение света в черном ящике:

(41.16)

Итак, мы видим, что при больших ω кривая резко идет вниз; хотя в числителе стоит ω 3, знаменатель содержит е в чрезвычайно высокой степени; на кривой нет никакого намека на подъем, и там, где мы того не ждем, не появляется ни ультрафиолетовых, ни рентгеновских лучей!

Может возникнуть недовольство в связи с тем, что при выводе (41.16) мы пользовались квантовой теорией для уровней энергии гармонического осциллятора, а при определении эффективного сечения σ s мы оставались верны классической теории. Но квантовая теория взаимодействия света с гармоническим осциллятором приводит точно к тем же результатам, что и классическая. Это обстоятельство оправдывает то время, которое мы затратили на изучение показателя преломления и рассеяние света, основанное на представлении об атоме как о маленьком осцилляторе, — квантовые формулы получаются точно такими же.

Теперь вернемся к шумам Джонсона в сопротивлении. Мы уже отмечали, что теория мощности шума, по существу, — та же самая, классическая теория излучения черного тела. На самом деле, как мы уже говорили, сопротивление в цепи — это не настоящее сопротивление, а похоже скорее на антенну (антенна ведь тоже похожа на сопротивление, она излучает энергию). Это радиационное сопротивление, и легко подсчитать излучаемую им мощность. Эта мощность равна той мощности, которую антенна получает от окружающего ее света, и мы должны прийти к тому же самому распределению с точностью до одного, двух множителей. Мы можем предположить, что сопротивление — это генератор с неизвестным спектром мощности Р(ω). Найти распределение поможет то обстоятельство, что этот генератор, включенный в резонансную цепь произвольной частоты (как на фиг. 41.2, б), порождает на индуктивности падение напряжения, определяемое равенством (41.2). Это приведет нас к тому же интегралу, что и (41.10), а продолжая работать тем же методом, мы получим уравнение (41.3). Для низких температур kT в (41.3), конечно, надо заменить выражением (41.15). Две теории (излучения черного тела и шумов Джонсона) физически тесно связаны, так как мы можем связать резонансную цепь с антенной , тогда сопротивление R будет радиационным сопротивлением в чистом виде. Поскольку (41.2) не зависит от физических свойств сопротивления, генератор G для настоящего сопротивления и для радиационного сопротивления будет одинаковым. А что же будет источником генерируемой мощности Р(ω), если сопротивление R — теперь просто-напросто идеальная антенна, находящаяся в равновесии с ее окружением при температуре Т ? Это излучение в пространстве при температуре Т , которое обрушивается на антенну в качестве «принятого сигнала» и служит эффективным генератором. Следовательно, двигаясь от (41.13) к (41.3), можно найти прямое соответствие между P(ω) и I(ω).