Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью выражения (6.1) подсчитать вероятность P ( k,n ) выпадения k раз «орла» в серии из n испытаний. Полное число всех возможностей будет 2 n(поскольку в каждом испытании возможны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел», будет ( n k ), так что

(6.5)

Поскольку P ( k,n ) — доля тех серий испытаний, в которых выпадение «орла» ожидается k раз, то из ста серий k выпадений «орла» ожидается 100·P( k,n ) раз. Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции 100·P( k ,30). Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали получить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а получили в 16. Но такие флуктуации вполне допускаются «правилами игры».

Использованный здесь метод можно применять и в более общей ситуации, где в каждом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и П в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р , например, будет вероятностью результата В. Тогда q (вероятность результата П) должна быть равна 1- p . В серии из n испытаний вероятность того, что результат В получится k раз, равна

(6.6)

Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности .

Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х =0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х ), либо назад (до точки - х ), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно , ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением D N за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании. (При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг. 6.1.)

Фиг. 6.5. Три примера случайного блуждания. По горизонтали отложено число шагов N, по вертикали — координата D(N), т. е. чистое расстояние от начальной точки.

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать , что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние , т. е. каково среднее значение | D |? Впрочем, удобнее иметь дело не с | D |, а с D 2; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D N 2равна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как < D N 2> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага D 2всегда равно +1, поэтому, несомненно, < D 1 2>=1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).

Ожидаемая величина D N 2для N >1 может быть получена из D N -1. Если после ( N -1) шагов мы оказались на расстоянии D N -1, то еще один шаг даст либо D N = D N -1+1, либо D N = D N -1-1. Или для квадратов

(6.7)

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью 1/ 2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина D N 2будет просто D N 2+1. Но какова величина D N -1 2, вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» < D N -1 2>, так что

(6.8)

Если теперь вспомнить, что < D 1 2>=1, то получается очень простой результат:

(6.9)

Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из < D N 2> и получить так называемое «среднее квадратичное расстояние» D ск :

(6.10)

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то D N будет просто равно N О - N Р , т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку N О - N Р = N (где N — полное число подбрасываний), то D N =2 N O - N . Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины N О [она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получил ось и для D . (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между N О и D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов k=15 соответствует D =0, а k =16 соответствует D =2 и т. д.).