Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

А теперь обсудим подробнее поведение конденсатора — геометрически идеального конденсатора,—когда частота становится все выше и выше. Мы проследим за изменением его свойств. (Мы предпочли рассматривать конденсатор, а не индуктивность, потому что геометрия пары обкладок много проще геометрии катушки.) Итак, вот конденсатор (фиг. 23.4, а ), состоит он из двух параллельных круговых обкладок, соединенных с внешним генератором парой проводов. Если зарядить конденсатор постоянным током, то на одной из обкладок появится положительный заряд, на другой — отрицательный, а между обкладками будет однородное электрическое поле.

Фиг. 23.4. Электрическое и магнитное поля между обкладками конденсатора.

Представим теперь, что вместо постоянного тока к обкладкам приложено переменное напряжение низкой частоты. (После мы увидим, какая частота «низкая», а какая «высокая».) Конденсатор, скажем, соединен с низкочастотным генератором. Когда напряжение меняется, то с верхней обкладки положительный заряд убирается и прикладывается отрицательный. В момент, когда это происходит, электрическое поле исчезает, а потом восстанавливается, но уже в обратную сторону. Заряд медленно плещется туда-сюда, и поле поспевает за ним. В каждый момент электрическое поле однородно (фиг. 23.4, б ); есть, правда, небольшие краевые эффекты, но мы намерены ими пренебречь. Величину электрического поля можно записать в виде

(23.2)

где Е 0— постоянно.

Но останется ли это справедливым, когда частота возрастет? Нет, потому что при движении электрического поля вверх и вниз через произвольную петлю Г 1проходит поток электрического поля (фиг. 23.4, а). А, как вам известно, изменяющееся электрическое поле создает магнитное. Согласно одному из уравнений Максвелла, при наличии изменяющегося электрического поля (как в нашем случае) обязан существовать и криволинейный интеграл от магнитного поля. Интеграл от магнитного поля по замкнутому кругу, умноженный на с 2, равен скорости изменения во времени электрического потока через поверхность внутри круга (если нет никаких токов):

(23.3)

Итак, сколько же здесь этого магнитного поля? Это узнать нетрудно. Возьмем в качестве петли Г 1круг радиуса r. Из симметрии ясно, что магнитное поле идет так, как показано на рисунке. Тогда интеграл от Вравен 2π rВ . А поскольку электрическое поле однородно, то поток его равен просто Е , умноженному на πr 2, на площадь круга:

(23.4)

Производная Е по времени в нашем переменном поле равна i ω E 0 e i ω t . Значит, в нашем конденсаторе магнитное поле равно

(23.5)

Иными словами, магнитное поле тоже колеблется, а его величина пропорциональна ω и r.

К какому эффекту это приведет? Когда существует магнитное поле, которое меняется, то возникнут наведенные электрические поля, и действие конденсатора станет слегка похоже на индуктивность. По мере роста частоты магнитное поле усиливается: оно пропорционально скорости изменения Е , т. е. ω. Импеданс конденсатора больше не будет просто равен 1/ i ω С .

Будем увеличивать частоту и посмотрим повнимательнее, что происходит. У нас есть магнитное поле, которое плещется то туда, то сюда. Но тогда и электрическое поле не может, как мы раньше предполагали, остаться однородным! Если имеется изменяющееся магнитное поле, то по закону Фарадея должен существовать и контурный интеграл от электрического поля. Так что если существует заметное магнитное поле (а так и бывает на высоких частотах), то электрическое поле не может быть на всех расстояниях от центра одинаковым. Оно должно так меняться с r, чтобы криволинейный интеграл от него мог быть равен изменяющемуся потоку магнитного поля.

Посмотрим, сможем ли мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах,— к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах через Е 1, и пусть оно по-прежнему равно Е 0 е i ω t , а правильное поле запишем в виде

где E 2— поправка из-за изменения магнитного поля. При любых ω мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде E 0 e i ω t (тем самым определяя Е 0), так что в центре поправки не будет: E 2=0 при r=0.

Чтобы найти Е 2, можно использовать интегральную форму закона Фарадея

Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии Г 2, показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния r, потом вертикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от Е 1вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е 2, и интеграл равен просто — E 2( r ) h , где h — зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В , который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади S внутри Г 2(фиг. 23.4,б). Поток через вертикальную полосу шириной dr равен B ( r ) hdr , а суммарный поток

Полагая — ∂/∂ t от потока равным контурному интегралу от E 2, получаем

Заметьте, что h выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.

Используя для В ( r ) формулу (23.5), получаем

Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель i ω:

(23.7)