Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(13.8)

Каковы же теперь уровни энергии для состояний с одним перевернутым спином? Пусть, как обычно, С n — амплитуда того, что некоторое состояние |ψ> находится в состоянии | x n >. Если мы хотим, чтобы |ψ> было состоянием с определенной энергией, то все С n обязаны одинаково меняться со временем, а именно по правилу

(13.9)

Подставим это пробное решение в наше обычное уравнение Гамильтона

(13.10)

используя в качестве матричных элементов (13.8). Мы, конечно, получим бесконечное количество уравнений, но все их можно будет записать в виде

(13.11)

Перед нами опять в точности та же задача, что и в гл. 11, только там, где раньше стояло Е 0, теперь стоит 2 А . Решения отвечают амплитудам С n (амплитудам с перевернутым спином), которые распространяются вдоль решетки с константой распространения k и энергией

(13.12)

где b — постоянная решетки.

Решения с определенной энергией отвечают «волнам» переворота спина, называемым «спиновыми волнами». И для каждой длины волны имеется соответствующая энергия. Для больших длин волн (малых k) эта энергия меняется по закону

(13.13)

Как и прежде, мы можем теперь взять локализованный волновой пакет (содержащий, однако, только длинные волны), который соответствует тому, что электрон-«перевертыш» окажется в такой-то части решетки. Этот перевернутый спин будет вести себя как «частица». Так как ее энергия связана с k формулой (13.13), то эффективная масса «частицы» будет равна

(13.14)

Такие «частицы» иногда именуют «магнонами».

Теперь мы хотели бы выяснить, что происходит, когда имеется пара перевернутых спинов. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Состояния с двумя перевернутыми спинами.

Эти состояния можно, скажем, отмечать x -координатами тех двух узлов решетки, в которых оказались электроны с перевернутым спином. То, что на рисунке, можно обозначить | х 2, х 5>. В общем случае базисные состояния будут | х n , х m > — дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние | x 4, х 9> и состояние | х 9, x 4> совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевернут; порядок их не имеет значения. Не имеет также смысла состояние | x 4, х 4> — такого просто быть не может. Любое состояние |ψ> мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний.

Итак, С m,n =< х m , х n |ψ> теперь означает амплитуду того, что система в состоянии |ψ> окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи m -го и n -го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)

Уравнения движения спиновой системы — это дифференциальные уравнения для С n,m :

(13.15)

Пусть нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в Е , умноженное на амплитуду, а C m,n , заменятся коэффициентами а m,n . Затем надо аккуратно рассчитать влияние Н на состояние с перевернутыми спинами m и n . Это сделать нетрудно. Представьте на минуту, что m далеко от n , так что не нужно думать, что будет, если ... и т. д. Обменная операция, производимая в точке х n , передвинет перевернутый спин либо к ( n +1)-му, либо к ( n -1)-му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния | х m , х n +1>, и амплитуда того, что оно произошло из состояния | х m , х n -1>. Но передвинуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что С m,n питается от С m +1, n или от С m -1, n . Все эти эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гамильтонова уравнения для С m,n таков:

(13.16)

Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух случаев. При m = n уравнения вообще нет, а при m = n ±1 пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем . Мы просто будем игнорировать тот факт, что некоторые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно на чем-то скажется. Итак, в первом грубом приближении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными словами, допустим, что (13.16) верно при всех m и n , даже когда m и n стоят по соседству. Это самое существенное в нашем приближении .

Теперь уже решение отыскать нетрудно. Мы немедленно получаем

(13.17)

где

(13.18)

а

(13.19)