Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(19.19)

Мы замечаем, что в mv -импульсе есть две части: одна связана с векторным потенциалом, а другая с поведением волновой функции. Иными словами, величина ℏ ∇θ— это как раз то, что мы называли р -импульсом.

Теперь уже можно кое-что рассказать и о явлении сверхпроводимости. Прежде всего здесь отсутствует электрическое сопротивление. А нет сопротивления оттого, что все электроны коллективно пребывают в одинаковом состоянии. При обычном течении тока то один электрон, то другой выбивается из равномерного потока, постепенно разрушая полный импульс. Здесь же не так-то просто помешать одному электрону делать то, что делают другие, ибо все бозе-частицы стремятся попасть в одинаковое состояние. Ток, если уж он пошел, то это навеки.

Легко также понять, что если имеется кусок металла в сверхпроводящем состоянии и вы включите не очень сильное магнитное поле (что будет, когда оно сильное, мы обойдем молчанием), то оно не сможет проникнуть в металл. Если бы в момент создания магнитного поля хоть какая-то его часть возросла внутри металла, то в нем появилась бы скорость изменения потока, а в результате и электрическое поле, которое в свою очередь немедленно вызвало бы электрический ток, который, по закону Ленца, был бы направлен на уменьшение потока. А раз все электроны будут двигаться совместно, то бесконечно малое электрическое поле уже вызовет достаточный ток, чтобы полностью воспротивиться наложению любого магнитного поля. Значит, если вы включите поле после того как охладили металл до сверхпроводящего состояния, внутрь оно допущено ни за что не будет.

Еще интереснее другое связанное с этим явление, экспериментально обнаруженное Мейсснером [93] W. Meissner, R. Ochsenfeld, Naturwiss., 21, 787 (1933). . Если имеется кусок металла при высокой температуре (т. е. обычный проводник) и в нем вы создали магнитное поле, а затем снизили температуру ниже критического уровня (когда металл становится сверхпроводником), то поле будет вытолкнуто . Иными словами, в сверхпроводнике возникает свой собственный ток, и как раз в таком количестве, чтобы вытолкнуть поле наружу.

Причину этого можно понять из уравнений, и сейчас я объясню как. Пусть у нас имеется сплошной кусок сверхпроводящего материала (без отверстий). Тогда в любом установившемся положении дивергенция тока должна быть равна нулю, потому что ему некуда течь. Удобно будет выбрать дивергенцию Аравной нулю. (Конечно, полагалось бы объяснить, отчего принятие этого соглашения не означает потери общности, но я не хочу тратить на это время.) Если взять дивергенцию от уравнения (19.18), то в итоге окажется, что лапласиан от θ должен быть равен нулю. Но погодите, а как же с вариацией ρ? Я забыл упомянуть об одном важном пункте. В металле существует фон положительных зарядов (из-за наличия атомных ионов решетки). Если плотность заряда ρ однородна, то не будет ни остаточного заряда, ни электрического поля. Если бы в каком-то месте электроны и скопились, то их заряд не был бы нейтрализован и возникло бы сильнейшее отталкивание, которое растолкало бы электроны по всему металлу [94] В действительности, если бы электрическое поле оказалось чересчур сильным, то пары разорвались бы, и среди возникших «нормальных» электронов началось бы движение за нейтрализацию всяческих излишеств в положительном заряде. Но все же для образования этих нормальных электронов понадобилась бы энергия, так что основная мысль, заключающаяся в том, что почти однородная плотность ρ очень выгодна энергетически, остается справедливой. . Значит, в обычных обстоятельствах плотность электронного заряда в сверхпроводниках почти идеально однородна, и я вправе считать ρ постоянным. Далее, единственная возможность, чтобы ∇ 2θ было равно нулю всюду внутри сплошного куска металла,— это постоянство θ. А это означает, что в Jне входит член с р -импульсом. Согласно выражению (19.18), ток пропорционален ρ, умноженному на А. Значит в куске сверхпроводящего материала ток с необходимостью будет пропорционален вектор-потенциалу

(19.20)

Знаки ρ и q одинаковы (отрицательны), и поскольку ρ — величина постоянная, то я могу положить ρ q / m =-(некоторая постоянная). Тогда

(19.21)

Это уравнение впервые предложили братья Лондон [95] Н. London, F. London, Proc. Roy. Soc. (London), A149, 71 (1935); Physica, 2, 341 (1935). , чтобы объяснить экспериментальные наблюдения над сверхпроводимостью, задолго до того, как люди уяснили себе квантовомеханическое происхождение эффекта.

Мы теперь можем подставить (19.20) в уравнения электромагнетизма и определить поля. Векторный потенциал связан с плотностью тока уравнением

(19.22)

Если вместо Jя подставлю (19.21), то получу

(19.23)

где λ 2—просто новая постоянная

(19.24)

Теперь можно попробовать решить это уравнение относительно Аи детальнее посмотреть, что там происходит. Например, в одномерном случае у (19.23) имеются экспоненциальные решения вида е -λ x и е +λ х . Эти решения означают, что векторный потенциал обязан экспоненциально убывать по мере удаления от поверхности внутрь образца. (Возрастать он не может — будет взрыв.) Если кусок металла очень велик по сравнению с 1/λ, то поле проникнет внутрь только в тонкий слой у поверхности толщиной около 1/λ. Все остальное место внутри проводника будет свободно от поля, как показано на фиг. 19.3.

Фиг. 19.3. Сверхпроводящий цилиндр в магнитном поле (а) и магнитное поле В как функция от r (б).

Этим и объясняется явление Мейсснера.

Какова же эта «глубина проникновения» 1/λ? Вы помните, что r 0— «электромагнитный радиус» электрона (2,8·10 -13 см ) — выражается формулой