Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Итак, уравнение Шредингера для электронных пар в сверхпроводнике дает нам уравнения движения электрически заряженной идеальной жидкости. Теория сверхпроводимости совпадает с задачей гидродинамики заряженной жидкости. Если вы хотите решить какую-либо задачу, касающуюся сверхпроводников, вы берете эти уравнения для жидкости [или равноценную им пару (19.32) и (19.33)] и сочетаете их с уравнениями Максвелла, чтобы получить поля. (Заряды и токи, которыми вы пользуетесь, чтобы узнать поля, должны, естественно, включать как заряды и токи от сверхпроводника, так заряды и токи от внешних источников.)

Кстати, я считаю, что уравнение (19.38) не очень-то правильно, в него следует добавить член с плотностью. Он определяется не квантовой механикой, а вытекает из обычной энергии, связанной с вариациями плотности, так же как в уравнении для обычной жидкости должна стоять плотность потенциальной энергии, пропорциональная квадрату отклонения ρ от ρ 0(невозмущенной плотности, которая в нашем случае равна также плотности заряда кристаллической решетки). Поскольку должны наблюдаться силы, пропорциональные градиенту этой энергии, то в (19.38) обязан стоять еще один член, пропорциональный ∇(ρ-ρ 0) 2. В нашем анализе он не появился, потому что возникает он от взаимодействия между частицами, которым я, применяя приближение независимых частиц, пренебрег. Но это та самая сила, на которую я сослался, когда делал качественное утверждение о том, что электростатические силы стремятся сохранить ρ вдоль сверхпроводника почти неизменным.

И вот напоследок я перехожу к разбору очень интересного случая, впервые отмеченного Джозефсоном [100] В. D. Josephson, Physics Letters, 1, 251 (1962). , к анализу того, что бывает при контакте двух сверхпроводников. Пусть у нас есть два сверхпроводника, связанные тонким слоем изолятора (фиг. 19.6).

Фиг. 19.6. Два сверхпроводника, разделенных тонким изолятором.

Теперь такое устройство называется «переходом Джозефсона». Если изолирующий слой толст, электроны не могут пройти через него, но если он достаточно тонок, то электроны могут иметь заметную квантовомеханическую амплитуду перескока. Это попросту новый пример квантовомеханического проникновения через барьер. Джозефсон проанализировал такой случай и выяснил, что при этом должно происходить немало странных явлений.

Для анализа такого контакта я обозначу амплитуду того, что электрон окажется на одной стороне, через ψ 1, а того, что на другой,— через ψ 2. В сверхпроводящем состоянии волновая функция ψ 1— это общая волновая функция всех электронов с одной стороны, а ψ 2— соответствующая функция с другой стороны. Эту задачу можно решать для сверхпроводников разного сорта, но мы ограничимся самым простым случаем, когда вещество по обе стороны одно и то же, — так что соединение самое простое и симметричное. И пусть пока никакого магнитного поля нет. Тогда связь между этими двумя амплитудами должна быть такой:

Постоянная К характеризует данный переход. Если бы К была равна нулю, то эта пара уравнений попросту описывала бы наинизшее энергетическое состояние (с энергией U ) каждого сверхпроводника. Но обе стороны связаны амплитудой К , выражающей возможность утечки из одной стороны в другую (это как раз известная нам по двухуровневым системам амплитуда «переброса»). Если обе стороны одинаковы, то U 1будет равно U 2, и я имею право их просто вычесть. Но теперь предположим, что мы подсоединили две сверхпроводящие области к двум полюсам батарейки, так что к переходу оказалась приложенной разность потенциалов V . Тогда U 1- U 2= qV . Для удобства я могу выбрать нуль энергии посредине между U 1и U 2, и тогда уравнения обратятся в

(19.40)

Это стандартные уравнения двух связанных квантовомеханических состояний. На этот раз давайте проанализируем их по-иному. Сделаем подстановки:

(19.41)

где θ 1и θ 2— фазы по обе стороны контакта, а ρ 1и ρ 2— плотности электронов в этих двух точках. Вспомним, что на практике ρ 1и ρ 2почти точно совпадают друг с другом и равны ρ 0— нормальной плотности электронов в сверхпроводящем материале. Если вы теперь подставите эти формулы для ψ 1и ψ 2в (19.40) и приравняете вещественные части вещественным, а мнимые — мнимым, то получится четверка уравнений (для краткости обозначено θ 2-θ 1=δ):

(19.42)

(19.43)

Первая пара уравнений говорит, что ρ 1=-ρ 2«Но,— скажете вы,— они ведь обе должны быть равны нулю, раз ρ 1и ρ 2обе постоянны и равны ρ 0». Не совсем. Эти уравнения описывают не все. Они говорят, какими были бы ρ 1и ρ 2, если бы не было добавочных электрических сил за счет того, что нет баланса между электронной жидкостью и фоном положительных ионов. Они сообщают, как начали бы меняться плотности, и поэтому описывают тот ток, который начал бы течь. Этот ток, текущий от стороны 1 к стороне 2, был бы как раз равен ρ 1(или -ρ 2), или

(19.44)

Такой ток вскоре зарядил бы сторону 2, если можно было бы забыть , что обе стороны соединены проводами с батареей. Однако он не зарядит область 2 (и не разрядит область 1), потому что возникнут токи, которые выровняют потенциал. В наши уравнения эти токи от батареи не входят. Если бы их добавить, то ρ 1и ρ 2оставались бы фактически постоянными, а ток через переход определялся бы формулой (19.44).

Поскольку ρ 1и ρ 2действительно остаются постоянными и равными ρ 0, давайте положим 2 K ρ 0/ ℏ = J 0и напишем

(19.45)

Тогда J 0, подобно К , есть число, характеризующее данный переход.

Другая пара уравнений (19.43) дает нам θ 1и θ 2. Нас интересует разность δ=θ 2-θ 1, которую мы хотим подставить в (19.45); из уравнений же мы имеем