Йэн Стюарт - Математика космоса [Как современная наука расшифровывает Вселенную]

Кувыркающиеся луны Плутона — сенсация в области хаотичной динамики в космосе, но вообще-то астрономы знают много примеров космического хаоса, начиная с едва заметных подробностей движения крохотных лун и заканчивая долгосрочным будущим Солнечной системы. Спутник Сатурна Гиперион тоже хаотично кувыркается — это первый спутник планеты, который удалось застать за дурным поведением. Ось Земли наклонена на достаточно стабильные 23,4°, что обеспечивает нам регулярную смену времен года, но уже у Марса наклон оси меняется хаотично. Меркурий и Венера прежде тоже этим страдали, но вызванные Солнцем приливные явления их стабилизировали.

Существует связь между хаосом и люком Кирквуда 3:1 в поясе астероидов. Юпитер расчищает от астероидов эту область, разбрасывая их, хотят они этого или нет, по всей Солнечной системе. Некоторые из них пересекают орбиту Марса, который, в свою очередь, способен перенаправить их практически в любом направлении. Возможно, именно поэтому динозавры встретили свой конец. Троянские астероиды Юпитера, вероятно, были захвачены им вследствие хаотической динамики. Хаотическая динамика даже подсказала астрономам способ оценить возраст целого семейства астероидов.

Так что Солнечная система совсем не похожа на гигантский часовой механизм; скорее она играет со своими планетами в рулетку. Первый намек на это обнаружили в 1988 году Джерри Сассман и Джек Уиздом; они открыли, что орбитальные элементы Плутона беспорядочно изменяются вследствие гравитационных сил, действующих на него со стороны других планет. Годом позже Уиздом и Ласкар показали, что орбита Земли также хаотична, хотя и в меньшей степени: сама орбита особенно не меняется, а вот положение Земли на ней непредсказуемо в долгосрочной перспективе — скажем, через 100 млн лет.

Сассман и Уиздом показали также, что, если бы не было внутренних планет, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун тоже вели бы себя хаотично в долгосрочной перспективе. Эти внешние планеты оказывают значительное влияние на все остальные планеты, что делает их главным источником хаоса в Солнечной системе. Однако хаос не ограничивается исключительно нашим небесным домом. Расчеты показывают, что многие экзопланеты у далеких звезд, вероятно, движутся по хаотическим орбитам. Существует и астрофизический хаос: светимость некоторых звезд изменяется хаотически. Движение звезд в галактиках тоже вполне может быть хаотичным, хотя астрономы при моделировании и рисуют им обычно круговые орбиты (см. главу 12).

Хаос, судя по всему, правит космосом. Тем не менее астрономы обнаружили, что чаще всего основной причиной хаоса являются резонансные орбиты, простые числовые закономерности — такие как люк Кирквуда с его резонансом 3:1. В то же время хаос порождает закономерности — примером тому, вполне возможно, служат спирали галактик, как мы это увидим в главе 12.

Порядок порождает хаос, а хаос порождает порядок.

У систем, основанных на случайности, нет памяти. Если вы бросите игральную кость дважды, результат первого броска ничего не скажет вам о том, что произойдет при втором. Может, выпадет то же число, а может, и нет. Не верьте тому, кто попытается убедить вас, что если в данной серии бросков давно не выпадала шестерка, то некий «закон средних чисел» делает ее выпадение более вероятным. Такого закона не существует. Действительно, в долговременном плане доля шестерок в бросках правильной игральной кости должна быть очень близка к 1/6, но это происходит потому, что любые нарушения тонут в большом количестве новых бросков, а не потому, что кость вдруг решает подправить результат и свести его к теоретически предсказанному среднему значению [46] У честной кости 6 имеет такую же вероятность выпадения, как любая другая грань. В долгосрочной перспективе число шестерок должно сколь угодно близко подходить к 1/6 от числа бросков. Но очень поучительно знать, как это происходит. Если на каком-то этапе число выпадений шестерки было, скажем, на 100 больше, чем число выпадений любой другой грани, шестерка от этого не становится более или менее вероятной. Кость продолжает выбрасывать цифру за цифрой. После, скажем, еще сотни миллионов бросков эти 100 лишних шестерок будут смещать долю шестерок всего на одну миллионную долю. Отклонения компенсируются не потому, что кость «знает», что она выбросила слишком много шестерок. Они разбавляются новыми данными, которые выдает не обладающая памятью кость. .

Хаотические системы, напротив, обладают своеобразной кратковременной памятью. То, чем они занимаются в настоящий момент, намекает на то, что они будут делать через некоторое небольшое время. Забавно, но если бы игральные кости были хаотичны, то невыпадение шестерки на протяжении долгого времени означало бы, что она, вероятно, не выпадет в ближайшее время [47] С точки зрения динамики игральная кость представляет собой твердый куб, и ее движение хаотично лишь потому, что грани и углы «растягивают» динамику. Но в бросании костей есть еще один источник случайности: начальные условия. То, как вы держите кость в руке и как выпускаете ее, в любом случае делает результат случайным. . В поведении хаотических систем присутствует множество приблизительных повторений, поэтому прошлое может служить разумным — хотя далеко не гарантированным — ориентиром для оценки ближайшего будущего.

Длительность периода времени, для которого подобные предсказания имеют смысл, называется горизонтом предсказуемости (есть специальный термин: время Ляпунова). Чем точнее вы знаете текущее состояние хаотической динамической системы, тем длиннее становится горизонт предсказуемости, но горизонт отдаляется намного медленнее, чем растет точность измерений. Какими бы точными они ни были, малейшая ошибка в оценке нынешнего состояния со временем возрастет настолько, что собьет всякое предсказание. Метеоролог Эдвард Лоренц открыл эту закономерность на простой погодной модели, но то же самое верно и в отношении сложных погодных моделей, используемых в настоящее время синоптиками. Движение атмосферы подчиняется вполне конкретным математическим правилам, в которых нет места случайности, тем не менее все мы знаем, какими ненадежными становятся прогнозы погоды всего через несколько дней.

Это и есть знаменитый (и зачастую понимаемый неверно) эффект бабочки Лоренца: взмах крыла бабочки может месяцем позже вызвать ураган где-то на другом конце света [48] Лоренц не говорил ничего такого о бабочке, хотя у него есть близкое по смыслу высказывание о чайке. Бабочку предложил кто-то другой для названия публичной лекции, которую Лоренц прочел в 1972 году. И вообще, Лоренц, вероятно, имел в виду не этот, а более тонкий эффект. Все это не имеет отношения к нашему разговору, и описал я то, что мы называем «эффектом бабочки» сегодня. Он реален и является характеристикой хаоса, но это довольно тонкая материя. .