Айзек Азимов - Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Указанные выше примеры свободного падения несовершенны. Ни подъемник, ни самолет не могут падать длительное время без того, чтобы разбиться и тем самым нарушить эксперимент. Кроме того, падение подъемника или самолета было бы несколько замедлено сопротивлением воздуха, через который они мчатся, причем замедление это больше, чем то, которое испытывает от сопротивления воздуха человек, находящийся в пределах этого подъемника или самолета. Поэтому некоторое чувство веса все-таки присутствовало бы.

Чтобы достичь истинного чувства свободного падения, мы были бы должны подняться выше главной части атмосферы, скажем на высоту примерно 160 километров или более над поверхностью Земли. Чтобы удержаться на этой высоте, было бы неплохо иметь также небольшое поперечное движение, которое удерживало бы нас на орбите вокруг Земли, таким же образом, как комбинация внутренних и поперечных сил удерживает Луну на орбите вокруг Земли.

Описанная ситуация точно воспроизведена в отношении искусственного орбитального спутника. Такой спутник находится в свободном падении и может продолжать это свободное падение в течение долгого периода времени. Астронавт в его пределах не ощущает собственного веса. Это происходит не потому, что он — «вне притяжения Земли», как говорят некоторые дикторы службы новостей. Это происходит потому, что он находится в состоянии свободного падения и все в этом спутнике вместе с ним самим падает с абсолютно одним и тем же ускорением.

Сама Земля находится в состоянии свободного падения на орбите вокруг Солнца. И хотя ее масса огромна, вес ее равен нулю. Кавендиш не «взвесил Землю», поскольку это было ему не нужно; ее вес был равен нулю, и это понимали уже со времен Ньютона. Что сделал Кавендиш, так это — определил массу Земли.

Даже в свободном падении, когда вес равен нулю, масса любого взятого тела остается неизменной. Астронавты, строящие космическую станцию, будут перемещать огромные прогоны, которые не будут иметь никакого веса. Они даже будут способны балансировать такими прогонами на одном пальце, если прогон и палец будут неподвижны относительно друг друга. Однако если прогон был приведен в движение, или если он уже перемещается и должен быть остановлен, или требуется изменить направление его движения, то усилие, которое требуется приложить для этого, будет точно такое же большое, как если бы это происходило на Земле. Человек, попавший в ловушку между двумя прогонами, перемещающимися по направлению друг к другу, может оказаться раздавленным насмерть двумя невесомыми, но не «безмассовыми» объектами.

Различие между массой и весом, которое кажется настолько непринципиальным на Земле, является поэтому совсем не тривиальным, когда мы находимся в космическом пространстве, и легко может стать вопросом жизни и смерти.

По мере того как объект падает на землю со все большей и большей высоты, время, которое требуется объекту, чтобы достичь ее, увеличивается, а объект приближается к земле со все более и более высокой скоростью. Если мы воспользуемся уравнениями 2.1 и 2.2, подставив в этих уравнениях значение a, равное 9,8 м/с 2(ускорение свободного падения), то можем сделать некоторые легкие вычисления. Тело, упавшее с высоты 4,9 метра, ударится о землю через одну секунду и будет перемешаться в момент соударения со скоростью 9,8 м/с. Если отпустить тело с высоты 19,6 метра, оно ударилось бы о землю через две секунды, а скорость его была бы соответственно 19,6 м/с. Если отпустить тело с высоты 44,1 метра, оно ударилось бы о землю через три секунды, перемещаясь в момент контакта с землей со скоростью 29,4 м/с.

Казалось бы, что если вы бы только могли поднять объект на достаточно большую высоту, то достигли бы такой высокой скорости соударения, какой вам захотелось. Конечно, это кажется верным, но только в том случае, если значение достается одним и тем же для любых высот.

Но значение g не является константой; оно уменьшается с высотой. Значение g изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от объекта до центра Земли. Точка подъема в 6370 километрах над поверхностью Земли будет на самом деле на высоте 12 740 километров от Земли, поскольку мы рассчитываем расстояние до центра — в два раза дальше от центра, чем от поверхности. А значение g на такой высоте равно всего лишь 1/ 4того, каким оно является на поверхности.

Объект, падающий из состояния покоя, с высоты 6370 километров над поверхностью Земли, в первую секунду разовьет скорость, равную лишь 2,45 м/с, вместо 9,8 м/с, которых он достиг бы после одной секунды падения в непосредственной близости от поверхности Земли.

Но поскольку тело продолжает падать и приближаться к Земле, значение g, конечно, постоянно возрастает и в конце падения достигает 9,8 м/с 2. Однако падающее тело не ударилось бы о поверхность Земли со столь же высокой скоростью соударения, как оно бы сделало, если бы значение g было равно 9,8 м/с 2на протяжении всего его пути вниз.

Представьте себе тело, брошенное сначала с высоты 1000 километров, затем — с высоты 2000 километров, затем — с 3000 километров и так далее. Падение с высоты в 1000 километров закончилось бы скоростью соударения, равной v 1. Если бы значение #было постоянным, то падение с высоты 2000 километров вызвало бы увеличение в скорости на первых 1000 километрах, равное увеличению на вторых 1000 километрах, так что окончательная скорость соударения была бы v 1+ v 2, или 2v 1. Однако верхние 1000 километров представляют собой ту часть расстояния, на котором значение g меньше, чем на более низких 1000 километрах. Соответственно движение по этой половине дистанции добавляет меньшее количество скорости, чем при движении по более низкой половине, и заключительная скорость соударения равна v 1+ v 2, где v 2меньше, чем v 1. Те же самые аргументы могут быть повторены для других частей дистанции, таким образом, падение с высоты 10 000 километров закончилось бы со скоростью соударения, равной v 1+ v 2+ v 3+ v 4и так далее, до v 10. Здесь каждый символ представляет собой часть заключительной скорости, привнесенной в окончательную все более и более высокими частями дистанции, каждая из которых равна 1000 километров, и значение каждого следующего символа меньше, чем таковое предшествующего.

Всякий раз, когда вы видите перед собой ряд чисел, каждое из которых меньше, чем предыдущее, имеется возможность наличия сходящегося ряда. В таком ряде сумма чисел никогда не превосходит некоторое установленное значение — предел суммы — независимо от того, сколько чисел добавлено. Наиболее хорошо известный случай такого сходящегося ряда — это 1 + ½ + ¼ + 1/ 8+ 1/ 16, в котором каждое следующее число — половина предыдущего. Сумма первых двух чисел — 1,5; сумма первых трех чисел — 1,75; сумма первых четырех чисел — 1,875; сумма первых пяти чисел — 1,9325 и так далее. По мере добавления в ряд все большего количества чисел сумма становится все больше и приближается к 2, никогда не достигая его. Предел суммы этого своеобразного числового ряда равен 2.