Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Теория относительности утверждает, что порядок некоторых событий может, по мнению разных наблюдателей, оказаться различным и каждый из них будет в равной степени прав На фиг. 169 показано, как разные наблюдатели, для которых событие Р происходит здесь и сейчас (т. е. в той же точке и в тот же момент), должны будут считать, что некоторые события (например, Q 1) происходят в абсолютном будущем , некоторые ( Q 2) — в абсолютном прошедшем , а некоторые ( Q 3) — в абсолютном где-то (absolute elsewhere — как назвал их Эддингтон) [262]. Относительно их порядка очередности с событием Р может возникнуть разногласие между наблюдателями, движущимися по-разному.

Таким образом, нужно быть повнимательнее. Нетрудно установить причину и следствие в простейших случаях наподобие незрелого яблока и расстройства желудка или α -частицы и ионов, но следует соблюдать осторожность с событиями, близкими по времени и удаленными пространственно, не то как бы они не попали в абсолютное где-то по отношению друг к другу.

В атомной физике вы встретитесь с еще одним сомнением в отношении причины и следствия. Радиоактивные превращения оказываются подвластны чистой случайности: время существования индивидуального атома непредсказуемо. В последней главе вы увидите, что природа переносит частичную невозможность предсказаний на все наши знания, снабжая индивидуальные атомные явления некой неопределенностью, в свете которой бессмысленно ожидать однозначных следствий при определенной «причине».

Преобразования Лоренца как вращения

Фиг. 468 и 169 позволяют пролить новый свет на преобразования Лоренца, если сравнить их с простым вращением осей х и у . Воспользуемся алгеброй и найдем «преобразования», связывающие старые координаты точки с новыми координатами х ', у ' той же точки.

Фиг. 168. Диаграмма пространства-времени по Эддингтону.

Наблюдатель ε находится в начале координат, так же как и наблюдатель ε ', который быстро движется вдоль оси х относительно ε . Линия « вижу сейчас » описывается уравнением x= — ctи отмечает все события, которые ε (или ε ') видят сейчас . Зная величину скорости света с, ε следит за временем его распространения и размечает свою ось событиями, которые происходят сейчас вдоль оси х . Однако, для той же линии « вижу сейчас » поправки ε ' будут другими и линией «сейчас» он называет свою ось х '. Продолжение линии « вижу сейчас » в направлении положительного времени дает максимальный наклон, который получается у ε ' для линии « сейчас », ибо ε ' не может двигаться с относительной скоростью, большей с , а его линия поэтому никогда не может наклониться больше «световой» линии с наклоном с . Покрутите эту картинку вокруг оси t , и световая линия даст вам двойной конус

Допустим что событие Р произошло вначале координат, в точке « здесь, сейчас », а другое событие — в точке Q . Если Q находится внутри верхнего светового конуса ( Q 1), оно явно находится в будущем для всех наблюдателей. Аналогично всякое событие внутри нижнего светового конуса ( Q 2) находится в абсолютном прошлом , для всех наблюдателей Q 2, происходит раньше Р . Но Q 3 в пространстве между конусами может быть будущим для ε и тем не менее прошлым для наблюдателя ε ', так как его ось наклонна. Поэтому мы называем такую промежуточную область « абсолютным где-то ». Если Q попадет туда, ни Р, ни Q не могут быть причиной друг друга, они просто происходят в разных местах .

Фиг. 169. Диаграммы пространства (в одном измерении) и времени.

а— некое событие, происходящее на прямой линии (оси х ), изображено точкой. Расстояние вдоль оси х показывает, где произошло событие, а высота показывает, когда оно произошло. Событие Р предшествует по времени событию Q . Для некоторой пары событий можно утверждать, что Р является причиной Q ;

б— для движущегося наблюдателя начало отсчета переносится вместе с ним. В галилеевой системе он пользуется тем же масштабом времени, что и неподвижный наблюдатель.

в— при преобразованиях Галилея лилии каждого часа для двух наблюдателей одни и те же и параллельны линии t = 0;

г— преобразования Лоренца поворачивают оси одной координатной системы пространства-времени по отношению к другой (хотя и на пренебрежимо малый угол, за исключением случаев, когда относительная скорость ε и ε ' приближается к c ).

Спроектируем точку на оси х и у (фиг. 470).

Повернем теперь оси на угол A (вокруг оси z ). По отношению к новым осям координаты точки будут x ', у '. Обозначим символом s наклон новой оси х , так что s= tg А . Теперь видно, что

x' = ( x+ b)∙cos A = ( x+ y∙tg A )∙cos A =

= ( x+ sy)/sec A = ( x+ sy)/√(1 + tg 2 A ),

т. е.

x' = ( x+ sy)/√(1 + s 2)

Подобным же образом

y' = ( y— sx)/√(1 + s 2)

Преобразования при простом вращении осей показывают, что квадратный корень играет здесь ту же роль, что и в преобразованиях Лоренца. Действительно, мы получим лоренцеву форму преобразований, если вместо у возьмем t , умноженное на постоянную с и на i [квадратный корень из (—1)], а вместо наклона s возьмем i ( v / c ). Если y= ict, y' = ict', a s= iv/ c, то преобразования вращения превратятся в преобразования Лоренца. Проверьте это. Отсюда видно, что преобразования Лоренца можно рассматривать как расслоение пространства-времени линиями разного наклона для разных наблюдателей.

Инвариантный «интервал» между двумя событиями

Определим «интервал» между двумя событиями ( x 1, t 1) и ( x 2, t 2) по теореме Пифагора:

R 2= ( x 1— x 2) 2+ ( ict 1— ict 2) 2

Затем можно записать выражение для «интервала» R ' для другого наблюдателя, который в своих координатах связывает те же два события в точках ( x ' 1, t ' 1) и ( x ' 2, t ' 2). Воспользуемся преобразованиями Лоренца и выразим R ' через координаты первого наблюдателя. Тогда мы обнаружим, что R' совпадает с R . Преобразования Лоренца оставляют «интервал» неизменным. Это и составляет утверждение теории относительности — измерения с всегда дают одну и ту же ее величину.