Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Фиг. 291. Получение стоячих волн путем сложения двух цугов бегущих волн.

Путем построения графиков или с помощью алгебры и тригонометрии можно показать, что в промежуточных стадиях получается точно такая же результирующая волновая картина , как при колебаниях с максимальной амплитудой, только высота гребней будет меньше . Гребни и впадины наблюдаются всегда между одними и теми же точками веревки — узлами. Движение в целом можно представить графиком д на фиг. 291. Действительно, веревка разбивается на ряд участков, в концах которых колебаний нет, а середины колеблются с наибольшей амплитудой. Получается точно такая же картина, как стоячая волна в длинной скрипичной струне с большим числом пучностей. Значит, картину стоячей волны, устанавливающейся, скажем, на скрипичной струне, можно считать результатом сложения двух бегущих волн, которые распространяются в противоположных направлениях навстречу друг другу. Посмотрите на фиг. 291 и вы увидите, что узлы стоячей волны отстоят друг от друга на 1/ 2 λ (где λ — длина волны каждой из бегущих волн). Преимущества такого искусственного [166]представления колебаний с пучностями и узлами в виде стоячей волны в том, что оно позволяет определить длину волны обычных бегущих волн такой же частоты. Эта длина волны λ вдвое больше длины участка между двумя узлами.

Мы рассматриваем колеблющуюся струну, закрепленную на концах, как часть картины стоячих волн. Концы струны всегда неподвижны, это узлы. Если струна колеблется с одной пучностью, то длина струны L равна 1/ 2длины волны: L= 1/ 2 λ 1. Если колеблющаяся струна имеет две пучности, то длина бегущей волны λ 2короче и на L укладываются две полуволны: L=2( 1/ 2 λ 2). При трех пучностях L=3( 1/ 2 λ 3). и т. д. Таким образом, длины волн образуют последовательность:

λ 1= 2 L, λ 2= 2 L/2, λ 3= 2 L/3 и т. д.

Но для любой бегущей волны скорость v= f∙ λ. Поэтому частоты колебаний струны равны

f 1= v/ λ 1 = v/2 L

f 2= v/ λ 2 = 2( v/2 L)

f 3= v/ λ 2 = 3( v/2 L) и т. д.

Итак, рассматривая простую картину волн и основываясь на предположении, что волны складываются геометрически, можно установить, что собственные частоты струны, закрепленной на концах, относятся как 1:2:3…. (Точно так же обстоит дело с колебаниями воздуха в трубе, флейте или органной трубе. Правда, многие музыкальные инструменты, например колокольчики, обладают колебаниями, частоты которых не образуют простой ряд целых чисел. Вот почему при ударе по колокольчикам они издают менее гармоничный звук.) Если бы мы знали скорость распространения волн по веревке, то смогли бы вычислить фактические частоты. (В следующем разделе дан вывод выражения для скорости v распространения волн по струне или веревке.) Напротив, измерив λ для стоячих волн известной частоты, можно определить v , не производя измерений бегущих волн. Этим пользуются для измерения скорости распространения звуковых или коротких радиоволн.

При проектировании приемных антенн инженеры стараются подогнать длину антенны так, чтобы приходящие радиоволны возбуждали в системе антенны стоячие волны напряжения и тока.

Простой вывод формулы для скорости распространения волн по веревке

Мы предлагаем вашему вниманию вывод формулы для скорости распространения волн [167]. Возможно, он вас заинтересует, если же нет, то опустите его. В гл. 37 [168]будет дан похожий вывод для скорости распространения электромагнитных волн — световых и радиоволн.

Представим себе веревку, протянутую горизонтально от «источника» волн S до дерева, отстоящего на очень большом расстоянии (фиг. 292).

Фиг. 292. Вывод выражения для скорости распространения волны вдоль натянутой веревки.

Веревка туго натянута, натяжение в ней равно Т ньютон. Предположим, что S внезапно начинает поднимать конец веревки с вертикальной скоростью u и что этот подъем продолжается неопределенно долго. В результате образуется излом, который перемещается по веревке. Излом представляет собой волновое возмущение, распространяющееся вдоль веревки со скоростью v . Волну любой формы можно представить себе состоящей из множества изломов, причем один излом является как бы продолжением другого. Поэтому, вычислив скорость v , с которой перемещается вдоль веревки излом, можно определить скорость распространения вдоль веревки волны любой формы. Спустя t сек, излом проходит вдоль веревки путь v ∙ t , a S поднимает свой конец веревки на u ∙ t .

Представим себе, что рядом с перемещающимся по веревке изломом бежит со скоростью v наблюдатель, держа коробку, которая закрывает излом, не касаясь, однако, веревки. Наблюдатель увидит, что за короткий интервал времени Δ t в коробку войдет участок веревки длиной v ∙Δ t в горизонтальном направлении и выйдет под некоторым углом к горизонту, обладая вертикальной компонентой скорости u . Масса этого участка веревки равна d∙ v ∙Δ t , где d — «линейная плотность» веревки, т. е. масса на единицу длины (в кг/м). Участок веревки, о котором идет речь, приобретает за время Δ t количество движения в вертикальном направлении, равное (d∙ v ∙Δ t )∙( u ). Следовательно, на наш участок веревки должна действовать вертикальная сила, которая дается выражением

F = ПРИОБРЕТЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ / ВРЕМЯ,

= ( d∙ v∙Δ t)∙( u)/(Δ t) = d∙ v∙ u.

Коробка не касается веревки, поэтому сила эта должна бить обусловлена натяжением T ' веревки, расположенной под углом к горизонту: сила F должна представлять собой вертикальную компоненту T '. (Обратите внимание, что со стороны источника к веревке, расположенной под углом, должна быть приложена несколько большая сила T ', чем первоначальное натяжение, и натяжение Т в невозмущенной горизонтальной части веревки должна уравновешивать горизонтальная компонента силы Т '.)

Разложим Т ' на вертикальную компоненту ( Т ') уи горизонтальную компоненту ( Т ') х. Значит, ( Т ') у— это та сила F , действием которой обусловлено появление количества движения в вертикальном направлении, а ( Т ') х= Т .