Николя Жизан - Квантовая случайность. Нелокальность, телепортация и другие квантовые чудеса

Справка 9. Теорема о невозможности клонирования.Пусть b leftи b rightобозначают показания с приборов Боба, левого и правого соответственно.

Выигрыш в игре Белла означает, что часто удовлетворяются следующие два равенства: a + b left= x × y leftи a + b right= x × y right. Сложив их, мы получим:

Теперь вспомним, что все эти символы представляют собой биты (0 или 1) и что суммирование выполняется по модулю 2, поэтому результат также является битом. Следовательно, a + a = 0. Мы также помним, что Боб передвигает джойстик на левом приборе влево, то есть y left= 0, а джойстик правого прибора – вправо, то есть y right= 1. В итоге мы получаем b left+ b right= x. Так Боб может определить выбор Алисы x с высокой вероятностью, просто сложив два результата на своих приборах.

Следовательно, если бы Боб сумел клонировать свой прибор, он мог бы угадать выбор Алисы с высокой вероятностью, и это несмотря на то расстояние, которое их разделяет. То есть мы стали бы очевидцами коммуникации без передачи информации, причем на произвольной скорости. Некоторые могут заметить, что Боб может и ошибиться, когда угадывает выбор Алисы, ведь Алиса и Боб получают общий счет не 4, а лишь значительно больше 3. Конечно, Боб может иногда ошибаться. Однако того факта, что он угадывает правильно гораздо чаще, чем 1 раз из 2, достаточно, чтобы сделать коммуникацию возможной [26] Можно доказать, что Боб правильно угадывает выбор Алисы чаще, чем 1 раз из 2, если Алиса и Боб побеждают в игре Белла чаще, чем 3 раза из 4. . Линия связи будет довольно шумной, и им придется много раз повторять посылку (при этом Алиса должна каждый раз делать один и тот же выбор), но в конце концов Боб сможет угадать выбор Алисы с почти полной уверенностью. На самом деле как раз это и происходит уже сейчас во всей цифровой коммуникации. Интернет и другие протоколы связи режут наши сообщения на маленькие кусочки, которые отсылают затем приемнику, и так как всегда есть маленькая возможность ошибки, сообщение отсылается несколько раз, пока вероятность любой ошибки не станет пренебрежимо малой.

Итак, возможность победы в игре Белла влечет невозможность клонирования квантовых систем. Физики называют это теоремой о запрете клонирования. Это исключительно важный результат квантовой физики. Ее очень просто доказать математически, но уже мы видели, что эта теорема также прямо следует из существования нелокальности без коммуникации, что еще раз подчеркивает важность этой идеи.

Можно задать вопрос, почему мы можем клонировать животных, если мы не можем клонировать квантовые системы. Ведь очевидно, что биологическая макромолекула, известная как ДНК, сама по себе является квантовой системой! Интересно, что именно этот вопрос привел нобелевского лауреата, физика Юджина Вигнера к вопросу о квантовом клонировании [27] Wigner E. P.: The probability of the existence of a self-reproducing unit. In: The Logic of Personal Knowledge: Essays Presented to Michael Polanyi on his Seventieth Birthday , Routledge and Kegan Paul (1961). Reprinted in Wigner E. P.: Symmetries and Reflections , Indiana University Press (1967) and in The Collected Works of Eugene Paul Wigner , Springer-Verlag (1997), Part A, Vol. III. . И он-то как раз сделал вывод о невозможности клонирования в биологии, но это была ошибка. ДНК – это действительно квантовая система (по крайней мере, на это очень похоже, и хотя это никогда не демонстрировалось в эксперименте, вряд ли хоть один физик подвергнет это сомнению). Однако генетическая информация закодирована в ДНК с использованием лишь очень малой части возможностей, разрешенных в квантовой физике, и фундаментальных препятствий к клонированию такого небольшого объема информации не существует [28] Это как если бы информация была закодирована в положении электрона, без учета его скорости. В этом случае его положение может быть скопировано, и хотя данная операция внесет возмущение в его скорость, это не будет иметь значения, так как скорость не несет информации. . Очень интересно ставить вопросы относительно роли квантовой физики в биологии, и это очень популярная тема для исследований.

Чтобы закончить эту главу, позвольте мне сделать несколько замечаний, которые не так важны для главной темы, но могут быть интересны любопытному читателю.

Отметим (но в этот раз без доказательства), что квантовая теория разрешает неточное клонирование, что-то вроде создания плохой копии, и что самое лучшее возможное клонирование ограничено таким условием: оно должно быть достаточно плохим, чтобы гарантировать отсутствие коммуникации без физической передачи [29] Gisin N.: Quantum cloning without signalling , Physics Letters A 242 , 1–3 (1998). .

Теорема о запрете клонирования тесно связана со многими аспектами квантовой теории. В частности, как мы писали выше, она является существенной для таких прикладных областей, как квантовая криптография (глава 7) и квантовая телепортация (глава 8). Она также необходима, чтобы знаменитые соотношения неопределенностей Гейзенберга имели какой-то смысл (справка 8). В самом деле, если бы мы смогли идеально клонировать квантовую систему, мы могли бы измерить положение, к примеру, оригинала и скорость копии. Тем самым мы получили бы и положение, и скорость частицы одновременно, что не запрещено принципом неопределенности [30] В этом рассуждении допущено некоторое упрощение: ведь возможно, что статистика измерений положения в оригинальной системе и статистика измерения скоростей в клоне все же удовлетворяют соотношению неопределенностей Гейзенберга. Правда состоит в том, что соотношение неопределенности в исторической формулировке Гейзенберга весьма неточно, если не ошибочно вообще, см., например, M. Ozawa: Phys. Rev. A 67 , 042105 (2003). Один из способов сформулировать его точно – это как раз теорема о запрете клонирования и оптимальное квантовое приближение, см., например, C. Branciard: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110 , 6742–6747 (2013). .

Другое важное следствие теоремы о запрете клонирования состоит в том, что вынужденное испускание частицы, которое лежит в основе луча лазера, невозможно без спонтанного испускания частицы. Если бы это было не так, кто-то мог бы использовать вынужденное испускание фотона для того, чтобы идеально скопировать его состояние (к примеру, поляризацию). И вновь соотношение между вынужденным и спонтанным излучением находится в точности на границе оптимального клонирования, совместимого с нелокальностью без коммуникации [31] Simon C., Weihs G., Zeilinger A.: Quantum cloning and signaling , Acta Phys. Slov. 49 , 755–760 (1999). . Все складывается очень аккуратно, и квантовая теория удивительно согласованна и элегантна.