Константин Ефанов - Аппараты с перемешивающими устройствами

По методу DNS решаются уравнения Навье-Стокса напрямую непосредственно без применения моделей турбулентности (например, модели «k-ε») в отличии от других методов расчета.

При решении уравнений Навье-Стокса находят для любой точки в потоке скорость течения и давление. Результатом расчета по методу DNS является нахождение этих параметров потока.

По методу DNS возможно выполнение расчета течения для различных значений числа Рейнольдса.

В программных пакетах уравнения Навье-Стокса, то есть дифференциальные уравнения в частных производных, решаются конечно-разностным методам. Из конечно-разностных методов для решения задач гидродинамики используется метод конечных объемов (МКО).

Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса состоит из замены дифференциальных уравнений с назначенными граничными условиями на алгебраические дискретные уравнения и применение конечно-разностного метода решения.

В конечно-разностном методе, как указывается в работе [12,с.26], производная заменяется на алгебраическое отношение . При стремлении размеров ячейки сетки к нулю конечно-разностное отношение стремиться к производной , т.е. решение стремиться к решению дифференциального уравнения. При этом пределом является предел всего разностного уравнения, а не только его отдельных производных.

Операция дискретизации позволяет получить алгебраические уравнения, которые решаются вычислительными средствами применяемого компьютера.

Флетчер в работе [13,с.73] показал пример дискретизации на примере уравнения теплопроводности

на уравнение

В этом уравнении параметр показывает параметр Т в узле (j, n) сетки.

Таким образом, в каждом из узлов находится значение , проблема нахождения непрерывного решения дифференциального уравнения решается нахождением суммы значений.

Решение должно плавно изменяться в промежутках между узловыми точками элементов сетки. Решение в точках, не совпадающих с узловыми точками сетки, находится интерполяцией решений, полученных для окружающих её узловых точек.

Пример построения расчетной (дискретной) сетки по данным [13,с.74]:

Из указанного выше уравнения можно найти неизвестное по известным значениям на слое n (временном слое). Такая формула будет являться алгоритмом решения. Полное решение для сетки является суммой решений для всех узлов [13,с.74]:

Процесс дискретизации вносит ошибку. Для окрестности узла, в пределах которой вычисляется производная, ошибка дискретизации находится разложением в ряд Тейлора. Главный член ряда достаточной корректно оценивает ошибку дискретизации при малой величине ΔА (стороне ячейки). Ошибка дискретизации является критерием оценки ошибки решения в зависимости от уменьшения размеров ячеек расчетной сетки.

__

Метод конечных объемов

По методу конечных объемов в пространстве проточной части насоса строится расчетная сетка, структурными элементами которой являются конечные объемы. Трехмерный конечный объем может быть представлен в виде куба, тетраэдра, гексаэдра. В элементе конечного объема уравнения решаются для точки, находящейся геометрическом центре этого элемента. Метод можно назвать «методом частиц в ячейках» [12,с.48].

Метод конечных объемов обеспечивает для исходный дифференциальных уравнений Навье-Стокса выполнение законов сохранения в интегральной форме, то есть обладает свойством консервативности [12,с.51]. Законы сохранения могут быть записаны для различных величин, например, массы, импульса и др.

Скорость накопления величины А в ячейке равна сумме конвективного и диффузионного притока в единицу времени [12,с.52]. По граням смежных ячеек решение интеграла должно быть одинаковым.

__

Химическая гидродинамика

К уравнениям, описывающим движение потока без химических реакций, добавляется описание химической кинетики методами, описанной в дифференциальных уравнениях химической гидродинамики. Уравнения химической гидродинамики приведены в работах [34], [35].

Решая численными методами совместно систему уравнений из дифференциальных уравнений вычислительной гидродинамики для турбулентного течения и дифференциальных уравнений химической гидродинамики, получают решение для турбулентного потока, в котором протекают химические процессы.

__

Академик Колмогоров А.Н. в работе [17] описал единственно верно модель структуры турбулентного потока. В этой же работе отмечается, что нобелевский лауреат, академик Ландау Л.Д. высказался о корректности предложенной Колмогоровым А.Н. модели. Согласно этой модели происходит передача энергии от вихрей макромасштаба более мелким и до колмогоровского масштаба. На колмогоровском масштабе энергия тратится на вязкое трение. Колмогоровский масштаб по сути совпадает с элементарным масштабом (см. выше), описанным вокруг произвольно взятой точки внутри потока. Очевидно, что корректная постановка численного расчета состоит в расчете мелких масштабов с переходом к макроскопическому масштабу, являющимся интегральным в численном расчете. По методу DNS напрямую решается система уравнений Навье-Стокса.

Для учета протекания химических реакций необходимо решаемую численным методом систему уравнений дополнить уравнениями химической гидродинамики.

__

Проблема решения уравнений Навье-Стокса рассмотрена Ефановым К.В. в работе [18] и возможно, что решена (попытка решения проблемы как физиком, а не как математиком).

В монографии подробно приведена теория расчета валов на резонанс по теории колебаний и приведена теория расчета на резонанс методом конечных элементов.

Расчеты на резонанс следует выполнять в специальных компьютерных программных пакетах, а теорию расчета необходимо знать для глубокого понимания физики процесса и для выполнения расчета а также конструирования вала.

Предложен подход по выбору мешалки, по которому по геометрии аппарата предполагается структура потока, а затем под эту структуру выбирается мешалка. Такой подход является обоснованным технически по сравнению с подбором мешалок на основе простого сравнения их выходных данных по структуре потока.