Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Мои коллеги спросили меня, в какую категорию я поместил бы «теорию твисторов» — глубоко разработанный круг идей и процедур, с которыми я был связан на протяжении долгих лет. Поскольку она представляет собой альтернативную теорию окружающего мира, ее нельзя охарактеризовать иначе, как ПРОБНУЮ; но, по большому счету, она является просто способом математической записи давно созданных физических теорий.

Николай Иванович Лобачевский 1792–1856) один из нескольких математиков, независимо друг от друга открывших этот тип геометрии (альтернативный геометрии Евклида). Имена остальных: Карл Фридрих Гаусс 1777–1855), Фердинанд Швейкард и Янош Бойяи.

Евдокс был также создателем ПОЛЕЗНОЙ теории движения планет, просуществовавшей 2000 лет, развитой позднее Гиппархом и Птолемеем и потому впоследствии получившей название птолемеевой системы!

В современных обозначениях это утверждение означает, что существует дробь, а именно M/N , такая, что а/b > M/N > c/d . Такая дробь, лежащая между действительными числами а/b и c/d при условии, что а/b > c/d , может быть найдена всегда, поэтому критерий Евдокса действительно выполняется.

Но, по-видимому, Галилей часто использовал в своих наблюдениях водяные часы для измерения времени (см. Барба [1989]).

Строго говоря, сказанное относится к движению Земли лишь постольку, поскольку его можно считать приближенно равномерным и, в частности, без вращения. Действительно, вращательное движение Земли создает (относительно малые) динамические эффекты, которые могут быть обнаружены. Самые заметные из такого рода эффектов — отклонение ветров в северном и южном полушариях в различные стороны. Галилей полагал, что такая неравномерность «ответственна» за приливы.

Различие между электрическим и магнитным взаимодействиями состоит в том, что индивидуальные «магнитные заряды» (т. е. северные и южные полюсы), по-видимому, не существуют в природе отдельно друг от друга. Магнитные частицы образуют так называемые «диполи», т. е. крохотные магнитики (в которых северный и южный полюсы как бы сливаются вместе).

Эту модель связывают с именем Ньютона, но, как и в случае с «ньютоновской» механикой в целом, это — всего лишь удобный ярлык . Собственные взгляды Ньютона на истинную природу физического мира, по-видимому, отличались куда меньшим догматизмом и куда большей гибкостью. (Наиболее ярым сторонником «ньютоновской» модели, как представляется, был Р. Г. Бошкович A711-1787).)

Рафаил Соркин разъяснил мне, что в некотором смысле эволюция этой конкретной игрушечной модели может быть сделана «вычислимой» в целом таким же способом, как (скажем) ньютоновские системы. Рассмотрим последовательность вычислений С 1, C 2, С 3 …, которые позволят нам рассчитывать поведение нашей системы в (неограниченном) будущем со все возрастающей точностью(см. с.146). В данном случае мы можем предположить, что С n определяется при помощи машины Тьюринга, которая выполняет действие Т u ( m ) в течение N шагов, и положить Т u ( m ) = □, если она не остановилась на N -ом шаге. Однако, было бы нетрудно модифицировать нашу игрушечную модель таким образом, чтобы провалить подобные «вычисления» — для этого достаточно рассмотреть эволюцию, где выражение Т u ( т ) = □ заменено на дважды квантифицированные утверждения вроде « T ( q ) останавливается при всех q ». (Нерешенная задача, связанная с наличием бесконечного множества пар простых чисел, отличающихся на « 2 », может служить примером такого утверждения.)

В главе 4 «Является ли множество Мандельброта рекурсивным?»(примечание 86) высказывалось предположение о том, что теория Блюма — Шуба — Смэйла [1989], вероятно, даст возможность решить некоторые из этих вопросов в математически более приемлемом виде.

Уравнения, написанные Гамильтоном, — хотя, возможно, не вполне отражавшие его собственную точку зрения — были известны великому итало-французскому математику Жозефу Л.Лагранжу A736-1813) еще за 24 года до Гамильтона. Не менее важным достижением стала примерно в то же время формулировка механики в форме уравнений Эйлера — Лагранжа, согласно которым законы Ньютона можно рассматривать как производные одного основополагающего принципа — принципа стационарного действия (П. Л. М. де Мопертюи.) Обладая огромным теоретическим значением, уравнения Эйлера — Лагранжа имеют к тому же и немалую практическую ценность как мощный инструмент для вычислений.

В действительности, ситуация еще более «осложняется» в результате того, что лиувиллевский объем в фазовом пространстве — всего лишь один из целого семейства «объемов» различного числа измерений (называемых инвариантами Пуанкаре), которые остаются постоянными в ходе эволюции системы, описываемой уравнениями Гамильтона. Однако я был немного несправедлив в оценке всеобщности моих утверждений. Можно представить себе систему, в которой физические степени свободы (дающие вклад в какой-то из объемов фазового пространства) могут быть «заброшены» за пределы области наших интересы (например, они могут относиться к излучению, уходящему на бесконечность), так что объем той части фазового пространства, которую мы непосредственно изучаем, мог бы, на самом деле, уменьшиться.

Этот второй факт следует считать исключительной удачей для науки, ибо без него динамическое поведение больших тел могло бы остаться непостижимым и никак не указывало бы на конкретный вид тех законов, которые управляют поведением отдельных частиц. Как мне кажется, Ньютон столь упорно настаивал на своем третьем законе в том числе и потому, что без третьего закона динамическое поведение было бы просто невозможно перенести с микроскопического уровня на макроскопический. Наряду с этим, не менее важное значение для развития естествознания имело еще одно «чудесное» совпадение, касающееся закона обратных квадратов: оказалось, что этот закон — единственный из всех степенных законов (описывающих убывающие с расстоянием силы) для которого орбиты движения вокруг центрального тела в общем случае имеют простую геометрическую форму. Что делал бы Кеплер, если бы сила всемирного тяготения была бы обратно пропорциональна не квадрату, а кубу расстояния?