Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

, соответственно.

См. Мандельброт [1986]. Выбранная мною конкретная последовательность коэффициентов увеличения взята из работы Пайтгена и Рихтера [1986], в которой можно познакомиться с большим количеством цветных изображений множества Мандельброта. Другие поразительные иллюстрации можно найти в книге Пайтгена и Заупе [1988].

На самом деле при счете дат имеет место некоторое отступление от этого правила, поскольку нулевой год пропускается.

Насколько мне известно, точка зрения, согласно которой для любого действительно числа должно существовать некое — пусть неэффективное и даже совершенно неопределимое в рамках заданной формальной системы (см. главу 4) — правило, позволяющее определить его n -й знак, является вполне непротиворечивой, хотя и нетрадиционной. Я сильно надеюсь на то, что этот подход действительно непротиворечив, поскольку именно этой точки зрения я сам больше всего хотел бы придерживаться!

В книге использован символ А́леф — первая буква семитских (еврейский, иврит) алфавитов http://ru.wikipedia.org/wiki/Алеф, напоминающий N латыни.

Напомним, что 10 20означает число 100 000000000000000 000, то есть единицу с двадцатью нулями.

Величина е = 2,7182818285… (основание натуральных логарифмов, иррациональное число, по своему значению для математики сравнимое с числом π ) определяется как

Слово «топологический» означает, что речь идет о разделе геометрии, — иногда называемом «геометрией резиновой поверхности», — в котором расстояния не имеют никакого значения, а важны только свойства непрерывности объектов.

В оригинале — Tor’Bled-Nam . А что получится, если прочитать наоборот? — Прим. ред .

Первенство обнаружения этого множества до сих пор остается предметом споров (см. Брукс, Мательски [1981], Мандельброт [1989]), но сама возможность таких споров представляет собой дополнительное свидетельство в пользу того, что здесь мы имеем дело скорее с открытием, чем с изобретением.

Частично основанное на более ранних работах Сципионе дель Ферро и Тартальи.

Как сказал выдающийся аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес: «…знаменитый поэт в большей степени первооткрыватель, чем изобретатель…».

«Множество» означает набор предметов — физических объектов или математических абстракций, — который может рассматриваться как единое целое. В математике элементы (т. е. члены) множества часто сами являются множествами, поскольку множества могут собираться таким образом, чтобы самим формировать множества. Тем самым можно рассматривать множества множеств, множества множеств множеств и т. д.

Рассматривая множества, члены которых, в свою очередь, также являются множествами, мы должны тщательно проводить отличия между членами такого множества и членами его членов . Например, допустим, что S — это множество непустых подмножеств некоторого другого множества Т , членами которого являются один апельсин и одно яблоко. Т в таком случае имеет свойство «двойственности», тогда как S обладает свойством «тройственности»: членами S будут множества а) из одного яблока; б) из одного апельсина и в) из одного апельсина и одного яблока — представляющие три члена S . Аналогично, множество, чьим единственным членом является пустое множество , будет иметь свойство «единичности», а не «нулевости» — в него входит один член, а именно пустое множество! При этом само пустое множество не будет иметь, конечно, ни одного члена.

Можно дать занятную трактовку парадокса Рассела в более привычных терминах. Представьте себе библиотеку с двумя каталогами, один из которых перечисляет только те книги в библиотеке, которые хотя бы раз ссылаются на себя самих, а другой — остальные книги, т. е. те, которые не упоминают себя. В каком из этих каталогов, в таком случае, должен фигурировать второй каталог?

Хотя справедливость теоремы Ферма в обшем случае пока не доказана, ее справедливость для некоторых частных случаев, таких как G(0), G(l), G(2), G(3), доказана вплоть до G(125 000). Другими словами, доказано, что куб никакого числа не может быть суммой кубов двух других положительных чисел, четвертая степень числа не может быть суммой четвертых степеней других чисел и т. д. вплоть до степени 125000. (Несколько лет назад теорема Ферма была доказана в обшем виде. См. гл. 2 «Неразрешимость проблемы Гильберта» примечание 51 — Прим. верст. fb2 )

Мы можем представить себе лексиграфический способ упорядочивания как обычный способ, используемый для натуральных чисел, только сделанный «по основанию k + 1 », где для k + 1 чисел берутся различные символы формальной системы, вместе с новым «нулем», который никогда не используется. (Последняя сложность возникает в связи с тем, что числа, начинающиеся с нуля, и те, где он опущен — равны.) Простое лексикографическое упорядочивание в строчках из девяти символов осуществляется при помощи натуральных чисел, которые могут быть выписаны в стандартной десятичной системе без нуля: 1,2, 3,4…,8,9, 11, 12 19,21,22 99, 111, 112…

В действительности ход рассуждений в теореме Геделя может быть представлен таким образом, чтобы не зависеть от полностью привнесенного извне понятия «истины» для утверждений, подобных P k ( k ). Однако, он по-прежнему будет зависеть от интерпретации фактического «значения» некоторых символов: в частности, « ~ E к.с.» должно означать «не существует (натурального числа)…такого, что…».

В нижеследующем прописные буквы будут представлять натуральные числа, а заглавные — конечные множества натуральных чисел. Пусть m → [ n , k , r ] представляет такое утверждение: «Если X = { 0 , 1 …., m }, каждое из подмножеств которого длиной в k элементов приписано к r ящикам, то существует „большое“ подмножество Y , принадлежащее X и имеющее по крайней мере n элементов, такое, что все подмножества Y из k элементов попадут в один ящик». Здесь «большое» означает, что число элементов, входящих в Y , больше самого маленького из натуральных чисел, принадлежащих Y . Рассмотрим теперь следующее утверждение: «При любых k , r , n существует m 0 такое, что при m > m 0 утверждение m → [ n , k , r ] всегда справедливо». Дж. Парисом и Л. Харрингтоном [1977] было доказано, что это положение эквивалентно геделевскому утверждению для стандартных (введенных Пеано) аксиом арифметики, которое не выводится из этих аксиом и которое позволяет делать утверждения о тех аксиомах, которые «очевидно верны» (в данном случае оно говорит, например, о том, что утверждения, выведенные из аксиом, сами будут справедливыми).