Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

На мощном фундаменте, заложенном Галилеем, Ньютону удалось возвести величественнейший храм. Он сформулировал три закона, управляющие поведением материальных тел. Первый и второй законы Ньютона по существу совпадали с законами, открытыми Галилеем: если на тело не действует никакая сила, то тело продолжает равномерно двигаться по прямой; если на тело действует какая-нибудь сила, то произведение массы тела на ускорение (т. е. скорость изменения количества движения тела) равно этой силе. Заслуга собственно Ньютона состояла в осознании необходимости третьего закона движения: сила, с которой тело А действует на тело В , в точности равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой тело В действует на тело А (иными словами, «для каждого действия всегда существует равное по величине противодействие»), Три закона движения Ньютона образуют основу основ. «Ньютоновская вселенная» состоит из частиц, движущихся в пространстве, где действуют законы евклидовой геометрии.

Рис. 5.6.Сложение векторов по правилу параллелограмма

Ускорения этих частиц определяются действующими на них силами. Сила, приложенная к каждой из частиц, получается путем сложения (по правилу сложения векторов , см. рис. 5.6) всех сил, действующих на данную частицу со стороны всех остальных частиц. Чтобы система была хорошо определенной, необходимо задать некоторое четкое правило, которое позволяло бы установить, какая сила действует на частицу А со стороны другой частицы В . Обычно мы требуем, чтобы эта сила действовала по прямой, соединяющей частицы А и В (рис. 5.7).

Рис. 5.7.Сила, действующая между двумя частицами, направлена по прямой между ними (и по третьему закону Ньютона сила, действующая на частицу А со стороны частицы В , всегда равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей на В со стороны А )

Если речь идет о гравитационной силе, то между А и В возникает сила притяжения, величина которой пропорциональна произведению масс частиц А и В и обратно пропорциональна квадрату расстояния между частицами: закон обратных квадратов . Для других типов сил зависимость от взаимного расположения частиц может быть другой, и величина силы в этом случае будет зависеть не от масс частиц, а от какого-то иного их свойства.

Великий Иоганн Кеплер (1571–1630), современник Галилея, заметил, что орбиты планет, описываемые ими вокруг Солнца, имеют форму эллипсов , а не окружностей (причем Солнце всегда находится в фокусе, а не в центре эллипса), и сформулировал два других закона, задающих скорости, с которыми планеты движутся по орбитам. Ньютон сумел показать, что три закона Кеплера следуют из его собственной общей модели (с учетом силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния между телами). Кроме того, Ньютон внес многие поправки к кеплеровским эллиптическим орбитам, а также объяснил ряд других эффектов (например, медленное движение оси вращения Земли, замеченное задолго до Ньютона еще древними греками). Чтобы прийти к таким результатам, Ньютону, помимо дифференциального исчисления, пришлось разработать немало дополнительных математических методов. Феноменальный успех, увенчавший эти усилия, во многом объясняется его высочайшим искусством математика и великолепной физической интуицией.

С введением определенного закона для силы (как обратного квадрата расстояния между телами) ньютоновская модель превращается в точную и определенную систему динамических уравнений. Если положения, скорости и массы различных частиц заданы в некоторый момент времени, то их положения и скорости (равно как и массы, которые считаются постоянными ) автоматически определены для всех последующих моментов времени. Эта форма детерминизма , которой удовлетворяет мир механики Ньютона, оказала (и все еще продолжает оказывать) глубокое влияние на философскую мысль. Попробуем изучить природу ньютонианского детерминизма чуть более подробно. Что он может сказать нам о «свободе воли»? Мог бы в строго ньютонианском мире существовать разум? Найдется ли в нем место хотя бы компьютерам?

Давайте попытаемся представить более конкретно «ньютонианскую» модель мира. Например, мы можем предположить, что частицы материи допустимо считать математическими точками, т. е. объектами, не имеющими никакой пространственной протяженности. В качестве альтернативы все частицы можно считать твердыми сферическими шариками. И в том, и в другом случае нам придется предположить, что законы действия сил, как в случае ньютоновского закона всемирного тяготения, известны. Мы хотим промоделировать и другие встречающиеся в природе силы, такие как электрические и магнитные взаимодействия (впервые подробно исследованные в 1600 году Уильямом Гильбертом), или сильные ядерные взаимодействия, которые, как ныне известно, связывают частицы (протоны и нейтроны), образующие атомные ядра. Электрическое взаимодействие похоже на гравитационное, поскольку тоже удовлетворяет закону обратных квадратов, но при этом одинаково заряженные частицы отталкивают (а не притягивают, как в случае гравитационного взаимодействия) друг друга, и величину электрического взаимодействия определяют не массы, а электрические заряды частиц. Магнитное взаимодействие, так же как и электрическое, «обратно пропорционально квадрату расстояния» [108], но ядерное взаимодействие имеет совершенно другую зависимость от расстояния: оно очень велико на очень малых расстояниях, сравнимых с внутриатомными, и пренебрежимо мало на бо́льших расстояниях.

Предположим, что мы остановили свой выбор на модели твердых сферических шариков, потребовав, чтобы при столкновении частиц шарики просто идеально упруго отражались. Иначе говоря, они должны разлетаться после столкновения без какой бы то ни было потери энергии (или полного количества движения (импульса)), как если бы они были идеальными бильярдными шарами. Нам необходимо также точно задать, какие силы должны действовать между шариками. Для простоты мы можем положить, что сила, с которой один шарик действует на любой другой, направлена по прямой, соединяющей центры шариков, а величина силы определяется длиной отрезка между центрами шариков. (Для ньютоновской гравитации это предположение выполняется автоматически в силу замечательной теоремы, доказанной Ньютоном; а для других видов сил оно может быть наложено в качестве дополнительного требования.) Если шарики сталкиваются только попарно, а тройные столкновения, как и столкновения более высокого порядка, не происходят, то все вполне определено, и исход столкновения непрерывно зависит от начального состояния (т. е. достаточно малые изменения в начальном состоянии приводят лишь к малым изменениям в конечном). Скользящие столкновения рассматриваются как предельный случай прохождения шариков в непосредственной близости друг от друга. Проблема возникает при рассмотрении тройных столкновений и столкновений более высоких порядков. Например, если происходит одновременное столкновение трех шариков А , В и С , то вся картина значительно меняется в зависимости от того, какое из попарных соударений мы рассматриваем сначала: шарика А с шариком В , а сразу же после этого — С с В ; или же мы считаем, что сначала сталкиваются шарики А и С , а затем шарик В сталкивается с шариком А (рис. 5.8).