Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Чтобы чувствовать себя уверенней, используя свойства пространства Минковского, полезно осознать, как сравниваются времениподобные интервалы на пространственно-временной диаграмме. Снова возьмем отрезок на временной оси от начала координат до момента t, квадрат его интервала – s 2 = c 2 t 2. Затем рассмотрим наклонный отрезок прямой (времениподобной), также от начала координат до какой-либо мировой точки, но с той же временной координатой t (например, точки A, рис. 5.4). Его квадрат интервала – это s 2 = c 2 t 2– x A 2. Мы видим, что интервал наклонного отрезка меньше , чем интервал вертикального для одинакового значения t !

Это выглядит парадоксально, ведь визуально все наоборот. Но вспомним, что интервал – это не длина траектории, а время, которое в движущейся системе отсчета (наклонный отрезок) течет медленнее, чем в покоящейся. Действительно (рис. 5.3), из преобразований Лоренца следует, что время t′ 2движущихся часов меньше времени t 2покоющихся. Ясно, что интервал наклонного отрезка станет еще меньше, если мы увеличим наклон. Если наклон сравняется с наклоном светового конуса, то интервал обратится в нуль.

В заключение перечислим основные понятия, определенные только что, и утверждения, важные для понимания свойств пространства Минковского:

• метрическое пространство – множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и введено правило определения расстояния между точками;

• мировая точка или событие – точка на диаграмме пространства Минковского (в 4-мерном пространстве-времени);

• мировая линия – совокупность мировых точек на диаграмме пространства Минковского, описывающая движение в зависимости от времени материальной массивной или безмассовой частицы;

• пространство Минковского – псевдоевклидово метрическое пространство, в котором связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, определяется интервалом , сохраняющимся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой;

• интервал времениподобный , если его квадрат положительный; в этом случае он эквивалентен промежутку собственного времени наблюдателя, следующего от одного события к другому прямолинейно и равномерно;

интервал светоподобный , если его квадрат равен нулю;

интервал пространственноподобный , если его квадрат отрицательный;

• световой конус в данной мировой точке – совокупность всех светоподобных прямых, проходящих через эту точку;

• причинно связанные события – события, которые могут быть соединены мировой линией, все касательные к таким линиям имеют наклон, не превышающий наклона светоподобных прямых;

• лоренцевы вращения – переход в пространстве Минковского из одной инерциальной системы отсчета в другую;

Теперь, используя представления о пространстве Минковского, продвинемся дальше.

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя. Знаменитая формула Эйнштейна. Вспомним обычные определения энергии и импульса из школьного курса, которые используются в нерелятивистской механике Ньютона. Энергия обычно разделяется на потенциальную и кинетическую. Потенциальная определяется высотой тела над поверхностью Земли. Ее исключим из рассмотрения, предполагая, что нет гравитационного поля Земли. Кинетическая энергия определяется массой и скоростью тела:

Импульс определяется простой формулой p= m v, m – инвариантная относительно преобразований инерциальная масса тела, масса покоя. Как изменятся эти величины при переходе к другой инерциальной системе? В рамках преобразований Галилея нужно лишь заменить скорость тела v на v′ = v + V , где V – скорость движения одной системы относительно другой.

В специальной теории относительности мы имеем дело с релятивистской механикой. В ее рамках энергия движущегося тела и его импульс выражаются формулами:

Как релятивистские энергия и импульс преобразуются при переходе от одной инерциальной системы к другой? Ответ простой: с помощью преобразований Лоренца. Релятивистские энергию и компоненты импульса (для сохранения размерности – с р ) можно мыслить, как компоненты единого 4-х вектора в пространстве Минковского, который называют вектором энергии-импульса. Строим квадрат длины этого 4-мерного вектора точно так же, как был построен квадрат интервала между событиями. Как и интервал, эта величина инвариантна относительно поворотов Лоренца и всегда имеет значение:

E 2– ( с p ) 2= ( mc 2) 2.

Знак минус и здесь отражает тот факт, что пространство Минковского – псевдоевклидово. Легко видеть, если частица покоится и p = 0, то ее полная энергия выражается знаменитой формулой: E = mc 2. Это согласуется с релятивистским выражением для энергии, если там положить v = 0, и приводит к выводу, что вся масса покоя тела может быть превращена в энергию, а энергия может обращаться в массу покоя.

Представим релятивистские энергию и импульс для малых скоростей v : они переходят в нерелятивистские E = mc 2+ E k(где второе слагаемое – обычная кинетическая энергия, она определена выше) и p= m v . Как видим, здесь нерелятивистская энергия отличается от кинетической энергии Ньютона на величину, которую мы уже назвали энергией покоя. То есть в СТО у массивных частиц состояний с нулевой энергией не бывает.

Кроме этих выводов, сделаем еще один: в СТО естественным образом описываются частицы с нулевой массой покоя m = 0, такие как фотон, для них E 2= ( с p ) 2. Очевидно, что в пространстве Минковкого они распространяются со скоростью света. Действительно, длина 4-вектора энергии-импульса для них равна нулю, т. е. их мировые линии лежат на световом конусе.

«Утяжеление релятивистской массы». Иногда в литературе, особенно часто – в популярной, встречается понятие «релятивисткой массы». Откуда оно взялось? В выражениях для релятивистских энергии и импульса инвариантную массу покоя можно заменить выражением:

Эта величина и называется релятивистской массой. Тогда релятивистская энергия приобретает форму формулы Эйнштейна E = m′c 2, а релятивистский импульс форму обычного импульса p = m′ v . Ясно, что с возрастанием скорости v , величина m′ увеличивается, а при v = c обращается в бесконечность. Возможно, это выглядит как яркий пример в популярной литературе. Но исследователи, как правило, этой величиной не оперируют, чтобы не создавать путаницы, ведь релятивистские энергия и импульс ведут себя точно так же. Действительно, они растут с увеличением скорости. Но для реальных тел ни энергия, ни импульс не могут достигать бесконечных значений. Это значит, что объекты с ненулевой массой покоя не могут достичь скорости света, а их траектория всегда находится внутри светового конуса. Куда удобнее использовать массу покоя, которая является инвариантной величиной.