Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II

Здесь m— масса электрона, а V ( r)— потенциальная энергия электрона в лектростатическом поле протона. Считая на больших удалениях от протона V =0, можно написать

V=-e 2 /r.

Волновая функция y должна тогда удовлетворять уравнению

Мы хотим найти состояния с определенной энергией, по­этому попробуем поискать решения, которые бы имели вид

Тогда функция y( r) должна быть решением уравнения

где Е — некоторое постоянное число (энергия атома).

Раз потенциальная энергия зависит только от радиуса, то это уравнение лучше решать в полярных координатах.

Лапласиан в прямоугольных координатах определялся так:

Вместо этого мы хотим воспользоваться координатами r,q, j, изображенными на фиг. 17.1.

Фиг. 17.1. Сферические ко­ординаты r, q , j точки Р.

Они связаны с х, у, z форму­лами

х = r sinqcosj; у=r sinqsinj; z=r cosq.

Вас ждут довольно нудные алгебраические выкладки, но в конце концов вы должны будете прийти к тому, что для произвольной функции f (r) = f ( r , q, j):

Итак, в полярных координатах уравнение, которому должна удовлетворять функция y( r , q, j), принимает вид

§ 2. Сферически симметричные решения

Попробуем сперва отыскать какую-нибудь функцию попроще, чтобы она удовлетворяла уравнению (17.7). Хотя волновая функция y в общем случае будет зависеть как от q и j, так и от r, можно все же поискать, не бывает ли такого особого случая, когда y не зависит от углов. Если волновая функция от углов не зависит, то при поворотах системы координат ни одна из амплитуд никак не будет меняться. Это означает, что все ком­поненты момента количества движения равны нулю. Такая функция y должна соответствовать состоянию с равным нулю полным моментом количества движения. (На самом деле, ко­нечно, равен нулю только орбитальный момент количества дви­жения, потому что остается еще спин электрона, но мы на эту часть момента не обращаем внимания.) Состояние с нулевым орбитальным моментом количества движения имеет особое на­звание. Его называют «s-состоянием» (можете считать, что s от слова «сферически симметричный»).

Раз y не собирается зависеть от q и j, то в полном лапласиане останется только один первый член и (17.7) сильно упростится:

· Прежде чем заняться решением подобного уравнения, хорошо

; бы, изменив масштаб, убрать из него все лишние константы

вроде е 2, m, h. От этого выкладки станут легче. Если сделать подстановки

то уравнение (17.8) обратится (после умножения на r) в

Эти изменения масштаба означают, что мы измеряем расстояние r и энергию Е в «естественных» атомных единицах. Например, r= r/r B , где r B =h 2 /me 2 , называется «боровским радиусом» и равно примерно 0,528 Е. Точно так же e =E/E R , где E R =me 4 /2h 2 . Эта энергия называется «ридбергом» и равна примерно 13,6 эв. Раз произведение ry встречается в обеих частях уравнения, то лучше работать с ним, чем с самим y . Обозначив

ry= f , (17.12)

мы получим уравнение, которое выглядит проще:

Теперь нам предстоит найти функцию f , которая удовлет­воряет уравнению (17.13), иными словами, просто решить диф­ференциальное уравнение. К сожалению, не существует ника­ких общих, годных во всех случаях жизни методов решения любого дифференциального уравнения. Вы должны просто по­крутить его то так, то этак. Хоть уравнение не из легких, но лю­ди все же нашли, что его можно решить при помощи следующей процедуры. Первым делом вы заменяете f , которое является некоторой функцией от r, произведением двух функций:

Это просто означает, что вы выносите из f (r) множитель е - a r . Для любого f (r) это можно сделать. Задача теперь просто све­лась к отысканию подходящей функции g (r).

Подставив (17.14) в (17.13), мы получим следующее уравне­ние для g:

Мы вправе выбрать любое a, поэтому сделаем так, чтобы было

a 2=-e; (17.16)

тогда получим

Вы можете подумать, что мы не так уж далеко ушли от урав­нения (17.13); но новое уравнение тем хорошо, что его можно легко решить разложением g (r) в ряд по r. В принципе есть возможность таким же способом решать и (17.13), но только все проходит сложнее. Мы говорим: уравнению (17.17) можно удов­летворить некоторой функцией g (r), которая записывается в виде ряда

где a k— постоянные коэффициенты. И нам осталось только найти подходящую бесконечную последовательность коэффициентов! Проверим, годится ли такая запись решения, Первая производ­ная такой функции g (r) равна