Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II

а вторая

Подставляя это в (17:17), имеем

Пока еще не ясно, вышло ли у нас что-нибудь; но мы рвемся вперед. Если мы первую сумму заменим некоторым ее эквива­лентом, то все выражение станет выглядеть лучше. Первый член в сумме равен нулю, поэтому каждое k можно заменить на k +1, от этого ничего в бесконечном ряде не изменится. Значит, пер­вую сумму мы вправе записать и так:

Теперь можно объединить все три суммы в одну:

Этот степенной ряд должен обращаться в нуль при всех мыслимых значениях r, что возможно лишь тогда, когда коэф­фициенты при каждой степени r порознь равны нулю. Мы полу­чим решение для атома водорода, если отыщем такую последо­вательность a k , для которой

при всех k >1. А это, конечно, устроить легко. Выберите какое угодно а 1 . Затем все прочие коэффициенты образуйте с помощью формулы

Пользуясь ею, вы получите а 2, а 3, а 4и т. д., и каждая пара будет, конечно, удовлетворять (17.21). Мы получим ряд для g (r), удовлетворяющий (17.17). С его помощью мы напишем y — решение уравнения Шредингера. Обратите внимание, что решения зависят от того, какова предполагаемая энергия (через a), но для каждого значения e получается свой ряд. Решение-то у нас есть, но что оно представляет физически? Понятие об этом мы получим, поглядев, что происходит вдалеке от протона — при больших r. Там основное значение приобре­тают наивысшие степени членов ряда, т. е. нам надо посмотреть, что бывает при больших k. Когда k>>1, то уравнение (17.22) приближенно совпадает с :

а это означает, что

Но это как раз коэффициенты разложения в ряд е +2 a r. Функ­ция g оказывается быстро растущей экспонентой. Даже после умножения на е - a r получающаяся функция f (r) [см. (17.14)] будет при больших r меняться как е a r. Мы нашли математиче­ское решение, но оно не является физическим. Оно представляет случай, когда электрону менее всего вероятно очутиться вблизи протона! Чаще всего он вам повстречается на очень больших расстояниях р. А волновая функция для связанного электрона должна при больших r стремиться к нулю.

Придется подумать, нельзя ли как-нибудь обмануть решение. Оказывается, можно. Посмотрите! Если бы, по счастью, оказа­лось, что a = 1 /n, где n — любое целое число, то уравнение (17.22) привело бы к a n + 1=0. И все высшие члены обратились бы тоже в нуль. Вышел бы не бесконечный ряд, а конечный многочлен. Любой многочлен растет медленнее, чем е a r, поэтому множитель е - aнаверняка забьет его при больших r, и функ­ция f при больших r будет стремиться к нулю. Единственные решения для связанных состояний это те, для которых a=1/n, где n =1, 2, 3, 4 и т. д.

Оглядываясь на уравнение (17.16), мы видим, что у сфериче­ски симметричного волнового уравнения могут существовать решения для связанных состояний лишь при энергиях

Допустимы только те энергии, которые составляют именно такую часть ридберга Е R =me 4 /2h 2 , т. е. энергия n -го уровня равна

Кстати, ничего мистического в отрицательных энергиях нет. Они отрицательны просто потому, что когда мы решили писать V= -е 2 /r, то тем самым в качестве нуля энергии выбрали энергию электрона, расположенного вдалеке от протона. Когда он ближе, то его энергия меньше, т. е. ниже нуля. Энергия ни­же всего (самая отрицательная) при n =1и возрастает к нулю с ростом п.

Еще до открытия квантовой механики экспериментальное изучение спектра водорода показало, что уровни энергии описы­ваются формулой (17.24), где Е R , как это следует из измерений, равно примерно 13,6 зв. Затем Бор придумал модель, которая привела к тому же уравнению (17.24) и предсказала, что E R должно равняться me 4 / 2 h 2 . Первым большим успехом теории Шредингера явилось то, что она смогла воспроизвести этот результат прямо из основного уравнения движения электрона.

Теперь, когда мы рассчитали наш первый атом, давайте рас­смотрим свойства полученного нами решения. Объединим все выделившиеся по дороге факторы и выпишем окончательный вид решения:

где

и

Пока нас интересует главным образом относительная вероят­ность обнаружить электрон в том или ином месте, можно в ка­честве а 1выбирать любое число. Возьмем, например, а 1=1 . (Обычно выбирают а 1так, чтобы волновая функция была «нор­мирована», т. е. чтобы полная вероятность обнаружить элек­трон где бы то ни было в атоме была равна единице. Мы в этом сейчас не нуждаемся.)

В низшем энергетическом состоянии n =1 и

Если атом водорода находится в своем основном (наиболее низ­ком энергетическом) состоянии, то амплитуда того, что элект­рон будет обнаружен в каком-то месте, экспоненциально падает с расстоянием от протона. Вероятнее всего встретить его вплотную близ протона. Характерное расстояние, на котором он встречается, составляет около одного r, или одного боровского радиуса r B .