Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Используя уравнение (32.10), получаем

Теперь вы видите, что если бы мы определили новый вектор D

D=e 0 E+ P, (32.14)

то два уравнения поля приняли бы вид

С· D=r др(32.15)

и

Это и есть та форма уравнений, которую использовал Мак­свелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:

СX Е=- д B/ д t

и

С· B=0,

которые в точности совпадают с нашими.

Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм и поэтому, в плотности тока утеряли еще одну часть. Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали

где Нотличается от e 0с 2 В, так как последнее учитывает эффекты атомных токов. (При этом j'представляет то, что осталось от то­ков.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых век­тора: Е, D, Ви Н, причем в Dи Нскрывалось то, на что он не обратил внимания,— процессы, происходящие внутри вещест­ва. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во мно­гих местах.

Чтобы решить их, необходимо как-то связать Dи Нс дру­гими полями, поэтому зачастую писали

D =eE

и

В=mH.(32.18)

Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых ве­ществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом e и m комплексными функциями частоты, но для произволь­ных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения запи­санными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.

§ 3. Волны в диэлектрике

Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электро­магнитные волны могут существовать в диэлектрическом ве­ществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах,

нет. Таким образом, мы возьмем r=-С· Ри j= д P/ д t . При этом уравнения Максвелла примут такой вид:

Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:

СX(СX E)=-( д / д t)СX B.

Используя затем векторное тождество

СX(СX E) = С(С· E)-С 2 Eи подставляя выражение для СX Bиз (32.19б), получаем

Используя уравнение (32.19а) для С· Е, находим

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь полу­чили, что даламбертиан Еравен двум членам, содержащим по­ляризацию Р.

Однако Рзависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Рвсегда будет иметь то же направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси z. Электрическое поле при этом будет изменяться как е i( w t - kz ). Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле имеет только x-компоненту. Все это записывается следую­щим образом:

E x=E 0e i ( w t - kz ). (32.21)

Вы знаете, что любая функция от (z- vt) представляет вол­ну, бегущую со скоростью v. Показатель экспоненты в выраже­нии (32.21) можно переписать в виде

-ik[z-(w/k)t],

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая ско­рость которой равна

v фаз=w/k.

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления n определялся нами из формулы

v фаз=c/n.

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

Ex=E 0 e i w ( t - nz / c ) .

Таким образом, показатель n можно определить, если мы най­дем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением

n=kc/w. (32.22)

В изотропном материале поляризация будет иметь только x-компоненту; кроме того, Рне изменяется с изменением коор­динаты х, поэтому С· P=0 и мы сразу же избавляемся от пер­вого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Р х будет изме­няться как е i w t и d 2 P x /dt 2 = -w 2P x. Лапласиан же в уравне­нии (32.20) превращается просто в д 2 E x /dz 2 =-k2Е x , так что в результате получаем

Теперь на минуту предположим, что раз Еизменяется си­нусоидально, то Рможно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположе­нию и обсудим его.) Таким образом, пишем

P x =e 0 NaE x .

При этом Е х выпадает из уравнения (32.23), и мы находим

k 2 =w 2 /c 2 (1+Na). (32.24)

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравне­ниям поля. Использование же выражения (32.22) для показате­ля n дает

n 2= l+Na. (32.25)

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для пока­зателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли урав­нение (31.19), которое тогда имело вид

Формула (32.25) после подстановки w из (32.6) дает

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член igw, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилля­торах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n 2 и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1 / 2 . Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n 2 равен единице плюс некое малое число, т. е. n 2=1+e. При этом условии мы можем написать, что n=Ц(1+e)»l+e/2, и оба выра­жения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш но­вый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.