Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавли­вающая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Ене меняет своего направления.) Если действую­щее на атом электрическое поле изменяется со временем сину­соидально, то мы пишем.

E=E 0e i w t. (32.2)

С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение, поэтому можно считать

х=х 0 е i w t .

Подставляя х=iwx и х=-w 2х, можно выразить х через Е:

А зная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти от­ветственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель пре­ломления.

Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный дипольный момент атома р равен q e x, или в силу уравнения (32.3)

Так как рпропорционально Е, то мы пишем

р=e 0a(w) Е, (32,5) где a — атомная поляризуемость:

Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особен­ностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную g. Кроме того, каждая гармоника имеет еще свою эффективную «силу», выражаемую в виде произведения поляризуемости при дан­ной частоте на постоянную связи f , которая, как ожидается, по порядку величины равна единице. Обозначая каждый из трех параметров w 0, g и f для каждой из гармоник через w ok, g kи f kи суммируя по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем

Если число атомов в единице объема вещества равно N, то поляризация Рбудет просто Np=e 0 NaE, т. е. пропорцио­нальна Е:

Р=e 0Na(w) Е. (32.8)

Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности а, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах a мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа про­порциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями элект­рического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в мате­риале поляризацию, пропорциональную его напряженности.

§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике

Наличие в веществе поляризации означает, что там возни­кают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда заряды и токи не равны нулю, но неявно опреде­ляются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов r и плотности тока j,усредненных по тому же самому малому объему, который имел­ся в виду при определении вектора Р. Потом необходимые нам значения r и j могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып. 5) мы видели, что когда поляризация Рменяется от точки к точке, то возникает плотность зарядов:

r пол=-С· Р. (32.9)

В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей. Но когда Ризменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда q e на скорость v. Когда же таких зарядов в единице объема N штук, то они создают плотность тока j:

j =Nq e v .

Ну а поскольку известно, что v=dx/dt, то j=Nq e dx/dt, что как раз

равно dP/dt.Следовательно, при переменной поляризации воз­никает плотность тока

j пол =d P/dt (32.10)

Наша задача стала теперь простой и понятной. Мы пишем уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяе­мыми поляризацией Рпосредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем Рс Еформулой (32.5) и будем разрешать их относительно Еи В, отыскивая при этом волновое решение.

Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сде­лать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что урав­нения писались в другой форме в течение многих лет (да и сей­час многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разни­цу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа ато­мов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что С· Pдает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).

Сегодня же мы предпочитаем обозначать через r полную плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с инди­видуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов r пол, то можно написать

r=r пол+r др,

где r др— плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относя­щаяся к другим зарядам, не связанным с определенными атомами. При этом мы бы написали

После подстановки r полиз (32.9) получаем

или

В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Макс­велла для СX B, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать

j= j пол+ j др,

причем уравнение Максвелла приобретает вид