Петр Путенихин - Правила счета элементов бесконечного множества

Предположим, что в процессе поиска получено новое число, скажем, 0,7182814159.... Однако это число не является новым, отсутствующим в пронумерованном множестве. Это странным образом не замеченное очевидное обстоятельство. Очевидно, что последовательности цифр после запятой всех действительных чисел являются полными, исчерпывающими, содержащими все без исключения их возможные комбинации. То есть, любая наперед заданная комбинация цифр, в том числе и у этого "найденного", обязательно присутствует в бесконечном множестве действительных чисел. Более того, любое число с конечным числом знаков как фрагмент, шаблон присутствует в этом ряду бесконечное число раз. Действительно, "найденных" чисел вида 0,718nnn… – бесконечное множество, как и чисел 0,7182814nnn…, где n – любая цифра, поэтому среди них обязательно имеется и "найденное". Следовательно, любое найденное подобным образом число, обязательно имеется среди подсчитанных, то есть, оно пронумеровано, как и любое другое из множества действительных чисел, что означает счетность всех действительных чисел.

Ошибочность доказательств многих тезисов Кантора вызвана выбором специфического метода подсчета числа элементов, неудачного способа записи последовательностей этих элементов, в результате чего отождествление элементов оказалось завуалированным.

Очевидно, что указанный метод доказательства несчетности множества действительных чисел, который можно назвать традиционным, содержит явную логическую ошибку и непригоден сам по себе. Этот метод опирается на недопустимое предположение "если кому-то удалось все их пересчитать, то можно найти пропущенное". Вместе с тем существует достаточно очевидный способ записи элементов континуума, наглядно доказывающий счетность всех мыслимых видов чисел, и позволяющий записать все их строго последовательно.

Покажем это на примере способа записи всех действительные числа, меньших нуля. Способ записи достаточно очевиден: нужно просто записывать после запятой все последовательные натуральные числа в обратном порядке, инверсно "задом наперед".

Например, под номером 12345678 будет записано действительное число 0,87654321, а инверсией последовательных натуральных чисел 996, 997, 998, 999, 1000 будет создан фрагмент последовательности действительных чисел:

Такая инверсная запись дробной части чисел, меньших единицы, позволяет записать всю их непрерывную, бесконечную последовательность. Инверсная запись, "задом наперед" используется для того, чтобы при возрастании номера сохранялись значащие нули, поскольку при обычной записи будут пропущены, например, действительные числа, имеющие нули сразу после запятой. Очевидно, что бесконечная последовательность содержит все без исключения действительные числа, меньшие нуля, в частности, полную дробную часть чисел π (3,14159…), числа Эйлера – е (2,71828…), основания натуральных логарифмов, константу пропорциональности Ландау – Рамануджана С (0,76422…) и постоянную тонкой структуры . Для удобства эти дробные числа с нулевой целой частью можно представить, например, записью следующего вида:

где индекс 0 означает, что все числа этого множества не превышают единицы, то есть, перед запятой у них записан 0, а n со стрелкой влево над ним – это обычное натуральное число, записанное после запятой в обратном порядке, "задом наперед", как дробная часть этого элемента множества. Очевидно, это число n является порядковым номером соответствующего элемента множества M 0, точки линии.

Теперь возьмем отрезок , линию [0,1] и отождествим каждую точку этой линии с полученной числовой последовательностью (3). Очевидно, что каждая точка отрезка будет единственно отождествлена с единственным числом последовательности, парно. Ни одна точка или число не будут пропущены. Какое бы число мы ни взяли, на линии обязательно будет точка с таким же значением. Наоборот, какую бы мы не взяли точку на линии, этот номер обязательно будет в созданном массиве. Иначе говоря, рассмотренный отрезок числовой прямой [0, 1], континуум оказывается в биективном соответствии со всеми числами созданного множества.

Собственно процесс нумерации элементов массива или точек линии также достаточно очевиден. В этом процессе, как можно обнаружить, точки, элементы линии, числа сформированного ряда, матрицы оказываются расположенными не в виде монотонной последовательности, а "вперемешку".

Рис.2. Нумерация точек отрезка

На рисунке показан фрагмент последовательной нумерации точек, начиная с точки 0,5 и заканчивая на точке 0,31. Мы последовательно рассматриваем фрагмент, точки с натуральными порядковыми номерами 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, по которым из выражения (3) определяем значения этих точек: 0,5 (точка номер 5); 0,6 (точка номер 6); 0,7 (точка номер 7 и так далее); 0,8; 0,9; 0,01 (точка номер 10); 0,11; 0,21; 0,31 (точка номер 13). Как видим, порядковые номера точек равномерно возрастают, но сами точки при этом "скачут" по линии. Отметим главное: фактическое значение точки "возникает" в самом процессе нумерации. То есть, сначала мы выбираем некоторый или очередной, натуральный порядковый номер точки, а затем определяем её местоположение на линии и присваиваем этой точке выбранный номер.

Собственно говоря, нумерация элементов массива и означает присвоение конкретному элементу некоторого определенного номера, как бы навешивание на элемент таблички с номером. Поэтому выбрав элемент, мы можем увидеть его номер, а выбрав номер, узнать, какому элементу он принадлежит. В рассмотренном случае с нумерацией точек линии натуральный порядковый номер, например, 12 389 принадлежит точке на линии со значением 0,98321. Наоборот, точка линии со значением, например, 0,5612999 имеет в массиве порядковый номер 9 992 165.

Такой же алгоритм можно использовать и для нумерации точек плоских или объемных, многомерных объектов, например, точек куба. В случае многомерных объектов номер преобразуется к виду (3) по методу Кантора, созданного им для отождествления точек линии и квадрата [3, с.77].

Предположим, некая точка куба имеет следующие координаты, в которых буквы α, β и γ обозначают любую цифру в этих числах:

Используя метод Кантора, формируем из этих чисел новое число: