Петр Путенихин - Правила счета элементов бесконечного множества

Но это решение ошибочно. По условиям задачи определённо сказано, что свободных номеров нет! Следовательно, данный «парадокс» Гильберта является псевдо парадоксом [9], поскольку вместо подселения производится выселение. В предложенном решении производится подмена понятий. Состояние, стационарное, неизменное – заполненность всех номеров жильцами – подменяется процессом, динамическим, движением – переселением постояльцев из одного номера в другой.

Во-первых, этот процесс будет длиться вечно, во-вторых, в случае даже одного нового гостя, на всём протяжении процесса переселений один из постояльцев всегда будет без гостиничного номера, то есть, будет сидеть в коридоре, что является нарушением условий решения задачи. Иначе говоря, все постояльцы просто поделились своим временем проживания с новым жильцом как в пословице "с миру – по нитке".

Собственно математическая ошибка состоит в том, что за большим числом постояльцев как-то незаметно прячется суть задачи. Математической процедурой, манипуляцией с бесконечностями подменяется само содержание исходного тезиса: подселение в заполненный отель дополнительных постояльцев. Показать эту подмену можно, если взять противоположный предельный вариант: в отеле всего один номер, и он занят. Для того чтобы поселить нового, прежнего постояльца временно выселяют буквально в коридор под предлогом переселения. Здесь, как видим, и обнаруживается скрытая подмена понятий переселения и выселения. Вновь пришедшего гостя селят в освободившийся номер. Но прежнего постояльца тоже надо куда-то поместить. Поэтому вновь заселенного гостя опять выселяют, а на его место селят прежнего постояльца. И так по кругу. В конечном счете, каждый из них в номере проживает только половину времени, а вторую – на стуле в коридоре.

В таком варианте задача принципиально ничем не отличается от задачи с бесконечным числом комнат. Добавим ещё одну комнату и будем по кругу переселять теперь уже троих постояльцев. Можно добавить и четверную комнату и производить всё ту же процедуру "переселения-выселения". Дойдя до бесконечности, мы и получим парадокс отеля в исходном варианте. Однако в его минимальной конфигурации мы явно обнаруживаем: постояльцы, по сути, часть времени проводят на стуле возле комнаты. При бесконечном числе комнат и конечном числе новых постояльцев это время стремится к нулю. Отличие только в этом. Если же число постояльцев растет, как предлагается в расширенных версиях парадокса, то и время "на стуле около комнаты" также будет расти вплоть до той же исходной величины – половины времени проживания. Рассмотренные решения «парадоксов» нарушают главный принцип отелей: постоялец должен вселиться и жить в нем, пока сам не решит его покинуть.

Вместе с тем, обнаруженное нарушение можно отнести к слабому опровержению решения задачи. Более важным выводом из неё является заявленное доказательство несчетности всех действительных чисел. Но ошибочно и это доказательство.

Парадокс отеля оказался настолько интересным и показательным, что он получил дальнейшее развитие, которое описано, например, в виде шутливого научно-фантастического рассказа от имени вымышленного персонажа:

"Из треста космических гостиниц пришел приказ составить заранее все возможные варианты заполнения номеров. Эти варианты потребовали представить в виде таблицы, каждая строка которой изображала бы один из вариантов. При этом заполненные номера должны были изображаться единицами, а пустые нулями. Например, вариант 101010101010… означал, что все нечетные номера заняты, а все четные пустые, вариант 11111111111… означал заполнение всей гостиницы, а вариант 000000000000… означал полный финансовый крах – все номера пустовали" [9, с.70-71].

Этот фрагмент, цитата является продолжением рассказа об "Отеле Гильберта", для случая бесконечного числа отелей с бесконечным числом номеров и бесконечным множеством гостей. В продолжении рассмотрен еще один из вероятных парадоксов, возникающих в таком тресте отелей. Итак, форма отчета определена. Далее определяется способ его составления:

"Директор был перегружен работой и поэтому придумал простой выход из положения. Каждой дежурной по этажу было поручено составить столько вариантов заполнения, сколько номеров было в ее ведении. При этом были приняты меры, чтобы варианты не повторялись. Через несколько дней списки были представлены директору, и он объединил их в один список" [там же]

К сожалению, способ описан недостаточно четко, например, что представляют собой "принятые меры", поэтому с учетом предыдущей информации из книги проясним некоторые детали. Фраза определённо противоречива. Изначально под вариантом подразумевалось одно единственное двоичное число, каждый разряд которого относится только к одной комнате. Если же дежурный составляет много вариантов, то неясно, чем они могут отличаться друг от друга? Вернее, ясно, что все они – это один и тот же вариант, одно и то же число с битами – признаками занятости номеров. В дальнейшем же под вариантом явно подразумевается номер той или иной комнаты на этаже.

На каждом этаже у дежурной по определению должно быть бесконечное, счетное количество номеров. В противном случае вариантов в смысле номеров комнат у неё будет конечное количество, то есть, каждое двоичное число будет иметь вполне определенное число знаков. Например, 10 165нулей и единиц. В этом случае задача имеет однозначное решение при бесконечном количестве гостиниц и этажей, поскольку любая счетная (потенциальная) бесконечность перекрывает любое конечное число вариантов.

Но, с другой стороны, если на этаже счетное, то есть, бесконечное количество номеров, то и в этом случае будет получен список вариантов, содержащий все возможные комбинации из бесконечного (счетного) числа нулей и единиц. То есть, и в этом случае задача решается однозначно, то есть, список вариантов будет единственным и полным .

"– Могу ручаться, что список неполон. Я берусь указать вариант, который наверняка пропущен" [3, с.70-71].

Вполне ожидаема подмена понятий, но её следует показать непосредственно, явно.

"Мы заключили пари. Чтобы выиграть его, я предложил прибить каждый вариант на дверь того номера, которому он соответствовал…" [там же].

Сразу же возразим. Напомним читателю, что вариантов составлено столько, сколько номеров на этаже, а не в гостинице целиком. Список отсортирован по возрастанию, но это не имеет принципиального значения, поэтому просто отбросим варианты других этажей, поскольку и одного этажа окажется вполне достаточно.

"А потом я поступил очень просто. Подойдя к двери первого номера, я увидел, что соответствующий вариант начинается с цифры 0. Немедленно в блокноте появилась цифра 1; это и была первая цифра варианта, который мне хотелось составить" [там же].