Петр Путенихин - Правила счета элементов бесконечного множества

Отсутствующие цифры для какого-либо индекса заменяем нулями. Дробную часть полученного комбинированного числа инвертируем, поворачиваем "задом наперед", согласно (3), и получаем натуральный порядковый номер рассмотренной точки куба. Например, точка куба с координатами p(x, y, z) = (0,123; 0,321; 0,9171) при комбинировании даст число N=139 221 317 001, что означает порядковый номер точки в бесконечном их массиве, равный 100 713 122 931. Понятно, что обратным преобразованием можно так же найти координаты любой точки по её номеру. Например, точка с порядковым номером 1 234 567 890 имеет в кубе координаты p(0,0741; 0,963; 0,852). Рассмотренный вариант относится к кубу с единичным ребром, но он может быть легко расширен на куб с любым размером ребра, а также на объекты вообще с любым числом измерений.

Наконец, метод позволяет перенумеровать и составные элементы: комплексные числа, кватернионы и тому подобные. Например, комплексное число можно представить в виде

В этой записи буквами α и γ обозначены целая часть числа реальной и мнимой части, а буквами β и δ, соответственно, их дробные части. Например:

Количество цифр α, β, γ и δ в записях может быть любым. Теперь, используя метод комбинации, можно получить число N, инверсная запись которого и будет обозначать натуральный порядковый номер этого числа в их бесконечном массиве. Например, приведенное выше комплексное число будет иметь в бесконечном массиве всех возможных комплексных чисел натуральный порядковый номер 200 123 021 325. Кстати, можно заметить, что в таком массиве первые 10 чисел (0…9) являются реальными, а число i (комплексная единица) находится на позиции 100 и имеет порядковый номер 10. Также заметим, что при таком подходе основой всех чисел являются вещественные числа, а различные комплексные и им подобные – это простая комбинация этих базовых чисел. Условно говоря – все эти комбинационные числа являются своеобразной тенью, миражом чисел реальных.

Нетрудно заметить, что нумерация комплексных чисел тождественна нумерации точек квадрата. В этих частных случаях можно легко применить для их нумерации традиционный диагональный процесс Кантора.

Далее, если составить множество строк, подобных выражению (3), в каждой из которых вместо нуля теперь уже будут записываться последовательные натуральные числа, то образуется квадратная таблица, матрица, содержащая все без исключения положительные действительные числа. То есть, запись (3) будет иметь следующую расширенную форму:

где x , y – это обычные натуральные числа, которые, как и выше, записаны в обратном порядке, "задом наперед", что обозначено обратными стрелками над ними. Нетрудно догадаться, что эти числа могут обозначать соответствующие координаты точек квадрата.

Дублирование строк со знаком минус добавит в таблицу и все отрицательные действительные числа. Если теперь записать матрицу координат его точек по выражению (5) для их подсчета диагональным процессом Кантора [3, с.70], то полученная запись будет иметь вид:

Нетрудно заметить, что такая запись содержит весь бесконечный ряд действительных чисел, причем слева (столбцом) и справа от запятой записаны независимые ряды в диапазонах значений от 0 до 1. Понятно, что ряд слева от запятой нужно читать справа налево, добавив в начале него 0 и запятую.

Такая трактовка этих последовательных числовых рядов позволяет присвоить значения их членов координатам точек квадрата, присвоить каждую пару этих чисел x , y каждой из точек квадрата со стороной 1 – без взаимных пропусков, то есть, обеспечить их полное биективное соответствие. Действительно, каждая точка квадрата на его некоторой, например, горизонтальной линии может быть пронумерована, как и точки линии, дробной частью x чисел представленного квадратного массива. Соответственно, каждой линии по вертикали так же может быть присвоен номер y , записанный инверсно, "задом наперед", то есть, и всё бесконечное множество горизонтальных линий квадрата будет пронумеровано всем рядом действительных чисел, меньших единицы. Теперь все точки квадрата в созданной матрице можно пересчитать диагональным процессом Кантора. Причем, отчетливо видно, что в представленной матрице первая строка номеров точек квадрата тождественна строке номеров точек линии (3) при y = 0. А это означает, что количество точек на линии в бесконечное число раз меньше количества точек на квадрате.

Следует признать, что нумерация точек квадрата диагональным процессом менее удобна, чем способ конвертации номеров (6). При конвертации мы легко можем по натуральному порядковому номеру N точки p( x , y ) определить её координаты x , y и наоборот. Использование же в этих целях выражения (5) связано с заметными вычислительными трудностями.

Таким образом, приведенные рассуждения позволяют подвести итог и сделать однозначный вывод:

Вся бесконечная последовательность действительных чисел, континуум любого числа измерений являются счётными, все они могут быть пронумерованы натуральными числами.

Судя по всему, вопросы бесконечных множеств сложны не только для рядовых математиков. Иной раз в слабом их понимании можно заподозрить и величайших специалистов в этой области. Рассмотрим рассказ, который, как считается, предложил Гильберт где-то в третьем десятилетии 20 века [9, 8, 10; 3, с.70-71].

Представим себе гостиницу с бесконечным числом комнат. Комнаты пронумерованы натуральными числами от 1 до ∞. Однажды в гостиницу вошел человек и попросил снять комнату. К сожалению, для нового гостя не нашлось комнаты, так как отель был полностью заполнен бесконечным числом гостей, и не было ни одного свободного номера. Как предоставить новому гостю свободную комнату, не выселяя никого из постояльцев?

Несмотря на то, что по условиям задачи все номера заняты , утверждается, что, тем не менее, существует возможность выделить сколько угодно свободных комнат. Для этого необходимо переселить постояльца из первой комнату во вторую, постояльца из второй комнаты в третью и так далее. То есть, каждого постояльца из комнаты с номером n необходимо переселить в комнату с номером n+1, n→n+1. В результате этого освобождается комната с номером один, и в неё можно поселить нового гостя. Здесь неявно подразумевается, что переселение выселением не является.