Петр Путенихин - Правила счета элементов бесконечного множества

Последовательность чисел в таблице будет содержать все без исключения числа. Собственно правило формирования чисел имеет простое аналитическое выражение, подобное (3) или (6). Возьмем два натуральных числа m и n, изменяющиеся от 0 до бесконечности. Запишем с их помощью некоторое число в виде

Здесь запись {0,m} означает число, меньшее единицы, дробной частью которого является натуральное число m. Фактически при табличной записи чисел n является номером строки в таблице, а m – номером колонки. Например, в ячейке (n=3; m=5) будет находиться число:

а в ячейке (n=10; m=2021) будет находиться число

Для составления таблицы начнем перебирать, подсчитывать все получившиеся числа. Строки чисел будут иметь вид:

Знаки плюс в таблице означают не суммирование, а используются как разделитель между числами. В связи с повторами, поскольку числа вида 0,1+0,10+0,100+0,1000 в использованном алгоритме считаются разными, общее количество чисел, видимо, окажется больше примерно на 10%. Конечно, мы можем повторяющиеся числа пропускать, не считать, но 10% погоды не делают. Если изобразить расположение чисел на графике, то график будет иметь вид пилы.

Для большей общности можно добавить еще одно условие: четные числа n будем делить на 2 и полученное число записывать согласно выбранному виду. Для следующего нечетного числа n запишем то же самое число, только со знаком минус. Очевидно, что в такой ряд легко включить и все вещественные и действительные, комплексные числа и даже кватернионы. Нумерация сформированных чисел соответствует нумерации членов любого числового ряда, то есть, каждое число из таблицы получит свой индивидуальный натуральный порядковый номер , будет пронумеровано при подсчёте. Каким бы ни было количество всех действительных чисел, наше движение по ряду не пропустит ни одного из них, и каждое из них получит свой индивидуальный натуральный номер. Таким образом, можно сделать вывод: континуум является счетным. Используя обратный метод индексации Кантора [3, с.77], мы можем корректно включить в этот континуум все мыслимые виды чисел. Как известно, метод Кантора формирует новое число из двух следующим образом:

У двух рациональных чисел x и y берутся цифры после запятой и поочередно вписываются после запятой третьего числа z. Мы проделаем обратную операцию, сформируем из одного числа несколько коэффициентов, например, для кватерниона. Возьмем из полученного ряда какое-либо число z и будем рассматривать его как составное, отбросив ноль и запятую:

Очевидно, что все составляющие число цифры гарантируют любую комбинацию, поскольку ряд чисел z бесконечен. Теперь составим из одноименных цифр новое число, кватернион:

Здесь в каждом коэффициенте показаны только четыре цифры, но, очевидно, их может быть любое количество. Также очевидно, что и самих коэффициентов может быть любое число: один коэффициент даёт действительное или вещественное число, два коэффициента дают комплексное число и так далее.

Понятно, что полученный ряд всех возможных чисел является счетным, каждое из исходных чисел имеет свой индивидуальный натуральный порядковый номер. Среди этих чисел обязательно окажутся и число е (2,71828…), и π (3,14159…), и константа пропорциональности С (0,76422…) Ландау – Рамануджана, и постоянная тонкой структуры . Счетность ряда обеспечивается использованием метода квадратов, предложенного математиком-филателистом из рассказа об отелях с бесконечным числом номеров [3, с.57] являющегося эквивалентом диагонального процесса Кантора:

Метод мы будем использовать в точности, как в рассказе, поэтому числа из приведенной выше таблицы расположатся друг за другом и получат соответствующие номера примерно в следующей последовательности:

Здесь знак плюс между числами также является простым разделителем, вместо пробела или запятой. Мы приводим только положительные числа, но, как отмечено выше, таблица содержит все вещественные, действительные и прочие числа. Порядок их подсчета соответствует правилу нумерации членов ряда, то есть, каждое число из таблицы получит свой индивидуальный порядковый номер , то есть, будет пронумеровано.

К таким же ошибочным выкладкам следует отнести и известное доказательство Кантора равной мощности точек в прямом отрезке и квадрата со стороной, равной этому отрезку. На самом деле мощность множества точек квадрата на отрезке имеет более высокий порядок, чем мощность множества точек отрезка. То есть, больше в бесконечное, счетное число раз.

Есть наглядный и предельно простой способ показать это: нужно отрезок просто наложить на квадрат. Под отрезком окажутся все тождественные ему точки квадрата. Остальные точки квадрата образуют отдельное бесконечное множество точек, очевидно, большей мощности. Если же отрезок длиннее стороны квадрата, то, казалось бы, можно найти такой квадрат, который будет содержать меньше точек, чем эта линия:

"Разумеется, можно разломать прямую линию на отрезки, длина которых равна стороне квадрата, и после этого каждый отрезок поместить в квадрат так, чтобы они не пересекались друг с другом" [3, с.59].

Это верно, но ломать линию совсем не обязательно. В доказательстве Кантора длина линии равна стороне квадрата. Однако, может быть, разлом линии в цитате предложен для того, чтобы завуалировать, спрятать фактическое опровержение этого доказательства? Действительно, если наложить отрезок на квадрат, то их точки будут отождествлены, причем, вопреки Кантору, у квадрата точек окажется несопоставимо больше, чем у линии. Как бы то ни было, в цитате отчетливо просматривается мысль, что линия содержит меньше точек, чем квадрат. По аналогии с таким разбиением возникло и обратное предположение: