Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

В этом кроется настоящая опасность. В эссе The Mathematician («Математик») [13] См.: J. von Neumann . Collected Works. Volume I: Logic, Theory of Sets and Quantum Mechanics. New York; London; Oxford; Paris: Pergamon Press, 1961. Pp. 1–9. [Приведенная далее цитата дается в пер. Ю. А. Данилова, см.: Ю. А. Данилов . Математик фон Нейман и его «Математик» // Природа. 1983. № 2. С. 86–87. Прим. перев. ] , опубликованном в 1947 году, Джон фон Нейман предупреждал:

На довольно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от «реальности», над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто эстетическими соображениями, оно все более и более становится искусством для искусства. Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьезная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплина превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей. Иначе говоря, при большом отдалении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» (близкородственного скрещивания. – Ю. Д. ) математической дисциплине грозит опасность вырождения.

Если ваше знакомство с математикой ограничивается школьной программой, это означает, что вам известна весьма ограниченная, а в какой-то степени даже ложная версия этого предмета. Школьная математика состоит главным образом из совокупности фактов и правил – фактов, которые нельзя оспаривать, и правил, которые предписаны высшим авторитетом и не подлежат сомнению. Такой подход рассматривает математические концепции как нечто непреложное.

Но математика не неизменна. Даже если речь идет о базовых объектах изучения, таких как числа и геометрические фигуры, наше незнание гораздо больше знания. А то, что мы все же знаем, получено в результате огромных усилий, разногласий и недоразумений. Весь этот труд и смятение тщательно завуалированы в ваших учебниках.

Безусловно, факты фактам рознь. Никогда не было особых споров по поводу того, что 1 + 2 = 3. Но можем ли мы действительно доказать , что 1 + 2 = 3, и как это можно сделать, – вопрос, который блуждает где-то между математикой и философией. Однако это совсем другая история, и мы вернемся к ней в конце книги. Правильность вычислений в данном случае не подлежит сомнению. Проблема кроется совсем в другом. Мы не раз столкнемся с ней на этих страницах.

Математические факты могут быть простыми и сложными, поверхностными и глубокими, что делит математическую вселенную на четыре сектора:

Базовые арифметические факты, такие как 1 + 2 = 3, относятся к категории простых и поверхностных. К этой же категории принадлежат и основные тождества, в частности sin(2 x ) = 2sin x × cos x или формула корней квадратного уравнения. Возможно, убедить себя в истинности таких тождеств немного труднее, чем в том, что 1 + 2 = 3, но по большому счету они не так уж сложны на концептуальном уровне.

В сегменте сложных и поверхностных фактов находится, например, задача умножения двух десятизначных чисел, или вычисление сложного определенного интеграла, или (при условии, что вы пару лет учились в магистратуре) определение следа Фробениуса на модулярной форме кондуктора 2377. Можно предположить, что по какой-то причине вам понадобится найти ответ на вопрос такого рода, но поиск решения вручную, вне всяких сомнений, покажется слишком раздражающей и невыполнимой задачей. В случае модулярной формы вам, возможно, понадобится серьезное образование даже для того, чтобы понять, о чем идет речь. Однако в действительности знание этих ответов не обогащает понимание окружающего мира.

Сектор сложных и глубоких математических фактов – это именно то, на что тратят б о льшую часть своего времени профессиональные математики, к числу которых отношусь и я. Здесь обитают знаменитые теоремы и гипотезы, такие как гипотеза Римана, последняя теорема Ферма [14] В настоящее время специалисты называют теорему Ферма теоремой Уайлса, поскольку Эндрю Уайлс доказал ее (не без помощи Ричарда Тейлора), тогда как Ферма не сделал этого. Однако, по всей вероятности, традиционное название неискоренимо и вряд ли будет когда-нибудь вытеснено. , гипотеза Пуанкаре [15] Ее доказал Григорий Перельман. Прим. М. Г. , равенство классов P и NP [16] Это гипотеза. Прим. М. Г. , теорема Гёделя и так далее. Каждая из этих теорем касается идей, имеющих глубокий смысл, фундаментальную важность, поразительную красоту и сугубо специальный характер, и каждая из них сама по себе выступает в качестве главного персонажа многих книг {12} 12 Что касается гипотезы Римана, мне больше всего нравятся книги: John Derbyshire . Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Plume; Reprint edition, 2004 [ Дж. Дербишир . Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. М.: Астрель; Corpus, 2010. – Прим. М. Г. ]; Marcus du Sautoy . The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. New York: Harper Perennial; Reprint edition, 2012. О теореме Гёделя см.: Douglas Hofstadter . Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Basic Books, 1999 [ Д. Хофштадтер . Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда. Самара: Бахрах-М, 2001. – Прим. М. Г. ]. По правде сказать, теорема Гёделя упоминается в этой книге вскользь, как один из элементов размышлений о самоотносимости в искусстве, музыке и логике. .

Но только не моей. То, о чем пойдет речь в настоящей книге, относится к верхнему левому сектору, где находятся простые и глубокие факты. Вы сможете непосредственно, с выгодой для себя использовать представленные здесь математические идеи независимо от того, ограничивается ли ваше математическое образование основами алгебры или охватывает гораздо более широкую область математики. И речь идет не о «фактах самих по себе», таких как простые арифметические утверждения, а о принципах, применение которых выходит далеко за рамки привычных представлений о математике. Мы будем говорить о надежных практических инструментах – их применение поможет вам не совершать ошибок.

Чистая математика представляется чем-то вроде монастыря – спокойное место, надежно защищенное от влияния окружающего мира со всей его суетой и противоречиями. Я вырос в стенах такого убежища. Знакомых мне математически одаренных молодых людей интересовало практическое применение математики в физике или геномике, многих влекла черная магия управления хедж-фондами, но все эти подростковые шатания и проблемы выбора были не для меня [17] Правда, в двадцать с лишним лет я все-таки потратил какое-то время на нешуточные размышления, не стать ли мне настоящим писателем. Я даже написал и опубликовал вполне глубокомысленное литературное произведение – роман The Grasshopper King («Король кузнечиков»). Но пока я работал над ним, то обнаружил, что по полдня слоняюсь в тоске, мечтая лишь об одном: решать математические задачи. . Во время учебы в магистратуре я посвятил себя изучению теории чисел, которую Гаусс называл «королевой математики». Из всех чистых дисциплин это была самая чистейшая – закрытый сад посреди монастыря, где мы размышляли над теми же вопросами о числах и уравнениях, которые занимали умы древних греков и которые едва ли стали менее мучительными за прошедшие две с половиной тысячи лет.