Евгений Елизаров - Основы организации мышления, или Сколько будет 2+2

Простой «кухонный» пример, как кажется, может помочь уяснению того тезиса, который отстаивается здесь. Нальем в большую кастрюлю воды и начнем перемешивать ее, захватывая лишь самую поверхность. Если мы не будем нарушать ритм и траекторию движения, то в скором времени обнаружим, что во вращение вовлекаются все более и более глубокие слои. Вот так и в деятельности нашего разума ничем не нарушаемая, строгая дисциплина мысли способна вовлекать в направляемый нами поток и те глубинные процессы, до которых еще не проникла организующая роль ни формальной логики, ни диалектики. Без такой дисциплины, без «автоматизированных» навыков организации мышления никакое увеличение объема прочитанных книг или собранных фактов никогда и никого не выведет за рамки простого интеллектуального ремесленничества, другими словами, за рамки обыкновенной посредственности. Подлинная культура и дисциплина мысли в конечном счете проявляется именно в этой способности упорядочивать и направлять течение глубинных процессов мета-логической обработки всех наших представлений. Кстати, благодаря именно такому вовлечению в общий поток организации многое из того, что лежит ниже подконтрольного диалектике уровня, постепенно переходит в ее состав, обогащая и арсенал самого индивида и общечеловеческую мысль. Иначе говоря, многое из этих подповерхностных процессов со временем входит в состав интегрального метода.

Наконец, самое интересное, что всплывает в ходе поиска оснований сложения разнородных начал.

Как правило, все, что протекает в неограненном строгими формами потоке предвычислений, иными словами, в ходе предварительной обработки каких-то интуитивных общих представлений о мире, обнаруживается нами лишь там, где уровень сложности скрытых от обыденного сознания процессов переходит некий критический рубеж. Но, как уже говорилось, далеко не всегда мы оказываемся на должной духовной высоте и осознаем эту сложность как интеллектуальную задачу, которая требует своего разрешения. Гораздо чаще все списывается на глупость поставленного вопроса, а то и вообще на глупость того, кто его задает.

Мы вправе говорить о возрастающей практической значимости задачи сложения, казалось бы, несопоставимых величин, и чем дальше диверсифицируется совокупная деятельность человека, тем настоятельней становится потребность развития и совершенствования интеллектуальных навыков ее решения. А это значит, что единым действием сложения могут быть объединены даже самые неожиданные вещи. Одно уравнение:

«веревкообразность» + «столбоподобие» + «змеевидность» = слон.

уже было рассмотрено и успешно решено нами. Попробуем решить другие:

«одушевленность» + «двуногость» + «плосконогтие» – «перья» =?

«капитанские погоны» + «спящие фазаны» – «мировой порядок» =?

Какой-то опыт уже подсказывает нам, что за предельной идиотичностью могут скрываться очень важные вещи, однако даже самая пылкая фантазия не в состоянии вообразить, что и здесь может таиться что-то осмысленное. И тем не менее смысл (и очень глубокий) есть. Скажем больше: слишком многое в европейской культуре зиждется именно на правильности или неправильности решения этих уравнений, чтобы ими можно было пренебречь. Слишком многое и в нашем анализе зависит именно от того, каким будет ответ.

Впрочем, продлим интригу. Отметим только, что решение подобных уравнений столь же значимо и для нашей цивилизации и для организации мышления отдельно взятого индивида, сколь умение складывать парно– и непарнокопытных и фортепианные концерты с египетскими пирамидами. Вполне справедливо предположить, что количественному сравнению могут и должны подлежать не только те вещи, качественные отличия между которыми сравнительно невелики, но и те, между которыми пролегает целая пропасть.

Стоит задуматься о том, что такие парадоксальные вопросы имеют полное право не только на существование, но и на получение четкого и однозначно интерпретируемого ответа. Стоит уже хотя бы для того, чтобы обнаружить (а нам еще предстоит убедиться в этом), что все те количественные шкалы, которыми пользуются в повседневном обиходе, решительно неприменимы там, где качественные отличия между подлежащими сопоставлению вещами, явлениями, процессами оказываются слишком большими.

О чем говорит отсутствие шкал, необходимых для измерения последних? О том, что количественные операции вообще не могут выполняться там, где качественные отличия переходят какой-то критический рубеж?

Здесь есть некая тонкость, которая требует своего осознания. Или мы соглашаемся с тем, что операции количественного сопоставления могут совершаться над любыми вещами вообще, или признаем, что они правомерны только для сравнительно небольшой части общего круга объектов, процессов, явлений, которые в своей сумме и составляют всю окружающую нас действительность. Последнее обстоятельство означает, что сфера количественного анализа должна быть ограничена, что за пределами этого круга не вправе применяться решительно никакие количественные определения. Словом, математика не вправе претендовать на всеобщность, действительный круг «подведомственного» ей сравнительно узок. Другими словами, объект-носитель тех или иных качеств, например, флейта, способная издавать приятные звуки, токарный станок, способный резать металл, это одно, а присущие им свойства – совершенно другое. Мы вправе суммировать первую со вторым, например, по «штукам» или какому-нибудь другому основанию, скажем, по массе. В последнем случае допустимо утверждать, что масса станка значительно превосходит массу музыкального инструмента. Но любая попытка определить, насколько точно (в долях одной «штуки» или в граммах) отличается музыкальная гармония от металлообработки, заранее обречена на провал.

Однако жизнь показывает, что область применимости математики постоянно и неуклонно расширяется, а значит, до пределов количественного анализа еще очень далеко. Вспомним. Вплоть до начала XVII века математика – это преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; она оперирует лишь постоянными величинами. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее – алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью их применения являются счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В Новое время потребности естествознания и техники (развитие мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) порождают идеи движения и изменения. Эти идеи реализуются прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Появляется аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление. В XVIII веке возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В XIX–XX веках математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию неевклидовых пространств. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и другие. Практическое освоение результатов теоретического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в XIX–XX веках численные методы вырастают в самостоятельную ветвь – вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач приводит к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники влекут за собой появление целого ряда новых дисциплин, как, например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления. [42] См. Обзор истории математики // Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1984.