Грег Иган - Вечное Пламя

Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a × b , вообще говоря, не совпадает с b × a .

Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v -1, и удовлетворяющий следующему соотношению:

v × v -1= v -1× v = Будущее

Так, Восток -1= Запад, Север -1= Юг, Верх -1= Низ, а Будущее -1= Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.

Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v -1:

Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный :

( v × w ) -1 = w -1× v -1

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

( v × w ) -1× (w -1× v -1 ) = v × Будущее × v -1= Будущее

(w -1× v -1 ) × ( v × w ) -1 = w -1× Будущее × w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / ( v × w ) = u × ( v × w ) -1= u × w -1× v -1 = ( u / w ) / v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Здесь a , b , c , d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w , используя другой набор вещественных чисел A , B , C , D :

w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v × w =

= ( a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее) × ( A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) =

×

= aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север +

+ aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее +

+ bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север +

+ bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее +

+ cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север +

+ cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее +

+ dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север +

+ dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север +

+ (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись | v |. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

| v | 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

| v × w | = | v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора , который мы будем обозначать v * и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v , а временная компонента совпадает с временной компонентой v :

v *= – a ∙ Восток – b ∙ Север – c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v × v * = ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ∙ Будущее = | v | 2∙ Будущее

Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v * будет совпадать с обратным v -1 . Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:

v -1 = v * / | v | 2

В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:

( v × w ) * = w *× v *

Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного вектора w * , можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w :

Проекция v × w * на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w )

Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент ( a, b, c, d ) вектора v на соответствующие компоненты ( A, B, C, D ) вектора w , называется скалярным произведением векторов v и w . Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.

Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h , причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g , а затем поделить справа на h . Иначе говоря, поворот вектора выражается так:

v → g × v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v , поскольку | g | = | h | = | h -1 | = 1 и

| g × v / h | = | g || v || h -1 | = | v |

Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v × w * :

v → g × v / h

w → g × w / h

v × w * → ( g × v / h ) × ( g × w / h ) * =

= g × v × h -1 × ( g × w × h -1 ) * =

= g × v × h -1 × h × w * × g -1 =

= g × ( v × w * ) × g -1

Поскольку g × Будущее / g = Будущее, то эта операция не меняет проекцию на вектор Будущее. А так как данная проекция определяет угол между v и w – вместе с их длинами, которые, как нам уже известно, остаются неизменными, – то неизменным остается и этот угол.

Все повороты, ограниченные тремя пространственными измерениями, можно описать как частный случай исходной формулы, положив в ней h = g :