Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

Оказывается, что в квантовой механике импульс тоже не mv, а нечто совсем другое. Здесь уже трудно определить точно, что же такое скорость частицы, но импульс все-таки существует. Разница же состоит в том, что когда частицы действуют как частицы, то их импульс по-прежнему mv, но когда они дейст­вуют как волны, то импульс уже измеряется числом волн на 1 см: чем больше волн, тем больше импульс. Однако, несмотря на это различие, закон сохранения импульса справедлив и в квантовой механике. Неверными оказались уравнение Ньютона f = ma и все его выводы закона сохранения импульса, тем не менее в квантовой механике в конце концов этот закон продолжает действовать!

§ 1. Симметрия в физике

§ 2. Переносы начала

§ 3. Вращения

§ 4. Векторы

§ 5. Векторная алгебра

§ 6. Законы Ньютона в векторной записи

§ 7. Скалярное произведение векторов

§ 1. Симметрия в физике

В этой главе мы вводим понятие, которое среди физиков известно под названием симме­трия законов физики. Слово «симметрия» употребляется здесь в несколько необычном смыс­ле, и поэтому нужно его определить. Как же определить симметрию какого-либо предмета? Когда мы говорим, что изображение симметрично, то этим мы хотим сказать, что одна его часть такая же, как другая. Профессор Герман Вейль дал такое определение симметрии: предмет симметричен, если его можно подвергнуть какой-либо операции, после которой он будет выглядеть как и вначале. Например, если мы повернем вазу на 180° вокруг вертикальной оси и она не изменит своего внешнего вида, то мы говорим, что обе стороны вазы симметричны. Мы будем понимать определение Вейля в более широком смысле и говорить о симметрии зако­нов физики.

Предположим, что где-то мы установили сложную машину со множеством зацеплений, с какими-то маховиками, шатунами и т. п. Предположим теперь, что в каком-то другом месте мы собрали такое же устройство, все час­ти которого являются точной копией частей прежней машины, причем сохранены все разме­ры и ориентация отдельных ее частей, все то же самое, только перенесено на некоторое рас­стояние. Затем мы запустим обе машины в оди­наковых условиях и посмотрим, будут ли они работать совершенно одинаково? Будут ли дви­жения отдельных частей одной машины повто­рять в точности соответствующие движения другой? Вообще говоря, ответ может быть от­рицательным, потому что мы можем ведь выбрать для второй машины неудачное место, скажем поставить ее так, что какие-то ее части будут при работе ударяться о стенку, тогда машина вовсе не будет работать.

Любая физическая идея требует здравого смысла при своем осуществлении, ведь это не чисто математические или абстракт­ные идеи. Нужно понимать, что мы имеем в виду, когда говорим, что при перенесении какого-либо устройства в другое место на­блюдаются те же явления. Под этим мы понимаем, что мы пере­двигаем все, что можно передвинуть. Если же при этом явление в чем-то изменяется, то мы предположим, что что-то послужило помехой, и займемся изучением причин. Если мы ничего не обнаружим, то объявим, что физические законы не обладают ожидаемой симметрией. Но если физические законы все-таки обладают симметрией, то мы найдем причину помех, во всяком случае мы надеемся найти ее. Осмотревшись, мы обнаружим, на­пример, что работе машины мешает стена. Основной вопрос со­стоит в следующем: если мы достаточно хорошо изучим наши устройства, если все основные источники сил имеются внутри аппарата и если на другое место передвинуть все, что следовало передвинуть, то будут ли законы меняться? Будет ли машина на новом месте работать так, как раньше?

Ясно, что мы хотим передвинуть само устройство и источ­ники основных влияний, а вовсе не все на свете — планеты, звезды и т. п., ибо если бы мы и совершили эту грандиозную работу, то наблюдали бы прежнее явление по той простой при­чине, что мы оказались бы на том же самом месте. Но мы и не можем передвинуть все на свете. Оказывается, что если передви­гать наше устройство более или менее разумно, то оно будет ра­ботать одинаково. Другими словами, если мы не будем вламы­ваться в стенку, будем знать происхождение внешних сил и постараемся, чтобы они были передвинуты вместе с машиной, то она будет работать на новом месте так же хорошо, как и прежде.

§ 2. Переносы начала

Мы ограничим наше рассмотрение законами механики, ко­торую достаточно хорошо изучили. В предыдущих главах мы установили, что законы механики можно свести к трем справед­ливым для любой частицы уравнениям:

Это означает, что существует такой способ измерения расстоя­ний х, у и z вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и сил вдоль этих направлений, при котором определяемые уравнениями (11.1) законы верны. Расстояния должны отсчитываться от некоторого начала, но где следует расположить это начало? Ньютон сказал нам только, что такая точка, от которой можно начать отсчет, существует; может быть, это центр Вселенной, и при измерении расстояний от нее его законы верны. Но мы можем немедленно показать, что незачем искать центр Вселен­ной, ибо безразлично, какую точку взять за начало координат. Иными словами, предположим, что имеются два человека — Джо, который выбрал начало своей системы координат в какой-то точке, и Мик, который построил систему координат, парал­лельную первой, но принял за начало другую точку (фиг. 11.1), расположенную на расстоянии а по оси х в его системе.

Фиг. 11.1. Две параллельные координатные системы.

Когда Джо определяет положение произвольной точки в про­странстве, он находит три ее координаты: х, у и z (обычно мы опускаем ось z, ибо ее трудно изобразить на нашем чертеже). В системе Мика эта точка будет иметь другое значение х (чтобы отличить его, введем обозначение х') и, вообще говоря, другое значение у, хотя в нашем примере они численно равны. Таким образом, мы имеем

х'=х- а, у'=y, z'=z. (11.2)

Чтобы сделать наш анализ полным, нужно знать, какие силы измеряет Мик. Если сила действует вдоль произвольной линии, то под силой вдоль направления х мы понимаем некоторую часть общей силы, которая равна произведению величины силы на косинус угла между направлением силы и осью х. Легко ви­деть, что Мик получит те же проекции силы, какие получил Джо, т. е. мы имеем систему уравнений