Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

F x '' =F x , F y '' =F y , F z ' =F z . (11.3)

Уравнения (11.2) и (11.3) определяют соотношения между ве­личинами, используемыми Джо и Миком.

Теперь поставим вопрос так: если Джо знает законы Нью­тона, то будут ли они верны, когда их попробует использовать Мик? Имеет ли значение выбор начала координат? Другими словами, предположим, что уравнения (11.1) верны, а (11.2) и (11.3) определяют соотношения между измеряемыми величи­нами; верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, дважды продифференци­руем выражение для х по времени. Прежде всего

Предположим теперь, что начало системы координат, которой пользуется Мик, фиксировано (не движется) относительно си­стемы координат Джо, т. е. а постоянна и da/dt= 0; таким об­разом, получаем

dx'/dt=dx/dt и, следовательно,

d 2 x'/dt 2 =d 2 x/dt 2 Если предположить, что измеряемые Джо и Миком массы равны, то уравнение (11.4а) принимает вид

Таким образом, произведения массы на ускорение одинаковы у обоих друзей. Можно получить и формулу для F X ' . Использо­вав (11.1), мы обнаружим

. F x ' =F x .

Следовательно, законы механики, с точки зрения Мика, точно такие же: он пишет законы Ньютона в других координа­тах, и эти законы оказываются верными. Это означает, что центра Вселенной нет и законы движения выглядят одина­ково, с какого бы места они ни наблюдались.

Верно и такое утверждение: если в каком-либо месте установить устройство с каким-то механизмом, то и в любом другом месте это устройство будет работать одинаково. Почему? Потому что любая машина, которую изучает Мик, подчиняется тем же уравнениям, которые описывают работу машины, контролируе­мой Джо. Поскольку уравнения, одинаковы, то и явления одни ' и те же. Таким образом, доказательство того, что аппарат в но­вом месте будет работать так же, как на прежнем, сводится к доказательству, что отнесенные к новой точке пространства уравнения воспроизводят себя. Поэтому мы говорим, что законы физики симметричны относительно перемещений в про­странстве, симметричны в том смысле, что законы не изменяются при перемещениях начала системы координат. Конечно, каж­дый интуитивно знает, что это верно, но интересно и полезно обсудить математику этого явления.

§ 3. Вращения

Разобрав вопрос о перенесении начала координат, мы рас­смотрели первую задачу из серии более сложных теорем о сим­метрии физических законов. Следующая теорема утверждает, что и направления координатных осей можно выбрать произ­вольно. Другими словами, если мы сооружаем где-то какое-то устройство и наблюдаем, как оно работает, а затем по соседству соорудим аналогичное устройство, но расположим его под лю­бым углом относительно первого, то будет ли второе устройство работать так же, как и первое? Вообще говоря, нет, если это, например, старые часы-ходики, известные еще нашим дедам. Если маятник ходиков расположен отвесно, они будут вели­колепно идти, но если их повернуть так, чтобы маятник уперся в стенку, верного времени они уже не покажут. Значит, нашу теорему нельзя применить к маятнику, если забыть о силе, ко­торая заставляет его качаться. Если мы все-таки верим в симметрию физических законов относительно вращений, то мы должны сделать какие-то вполне определенные предполо­жения о работе ходиков, например что для их работы важен не только часовой механизм, но и что-то, лежащее за его преде­лами, что-то, что следует обнаружить. Можно также предска­зать, что ходики будут идти по-разному, если они попадут куда-то в другое место по отношению к загадочному пока ис­точнику асимметрии (может быть, это Земля). Так и есть на самом деле. Мы знаем, что ходики на искусственном спутнике, например, вообще остановятся, ибо там отсутствует эффектив­ная сила, а на Марсе скорость их хода будет совсем иной. Маят­никовые часы содержат, помимо механизма, еще нечто вне их. Осознав этот факт, мы увидим, что вместе с ходиками нам придется повернуть и Землю. Но нам, конечно, незачем беспо­коиться — сделать это очень легко. Мы просто подождем минуту или две, и Земля сама повернется, а ходики затикают уже в новом положении так же весело, как и раньше. Пока мы пово­рачиваемся в пространстве, измеряемые нами углы изменяются тоже; эти изменения не причиняют особых беспокойств, по­скольку в новых условиях мы чувствуем себя точно так же, как и в старых. Здесь может скрываться источник ошибки; верно, что в новом, повернутом относительно старого положении законы остаются прежними, но неверно то, что во вращающейся системе координат справедливы те же законы, что и в покоящей­ся. Если проделать достаточно тонкие опыты, то можно уста­новить, что Земля вращается, но ни один из этих опытов не скажет нам, что Земля повернулась. Другими словами, мы не можем при помощи этих опытов установить ориентацию Земли, но можем сказать, что ориентация изменяется.

Обсудим теперь влияние ориентации системы координат на физические законы. Давайте посмотрим, не будут ли нам снова полезны Мик и Джо. Чтобы избежать ненужных сложностей, предположим, что эти молодые люди находятся в одной точке пространства (мы уже показали, что их системы координат можно перемещать). Пусть оси системы координат Мика по­вернуты относительно системы координат Джо на угол q, Обе системы координат изображены на фиг. 11.2, где мы ограничи­лись двумя измерениями.

Фиг. 11.2. Две координатные системы, ориентированные по-раз­ному.

Произвольная точка Р снабжается координатами (х, у) в системе Джо и (х', у') в системе Мика. Как и в предыдущем случае, начнем с того, что выразим коор­динаты х' и у' через х, у и q. Для этого опустим из Р перпенди­куляры на все четыре координатные оси и проведем АВ пер­пендикулярно PQ. Из чертежа ясно, что х' можно представить как сумму двух отрезков вдоль оси х', а у'— как разность двух отрезков вдоль АВ. Длины этих отрезков выражаются через х, у и 6; мы добавляем еще уравнение для третьей координаты: