Александр Волошинов - Математика и искусство

Пифагор со своими учениками. Иллюстрация из книги Франкино Гафурио 'Теория музыки'. Милан. 1492. Гравюры изображают акустические опыты Пифагора и Филолая на сосудах, струнах и трубках, находящихся в отношениях 4:6: :8:9:12:16

Только что появившаяся на свет пифагорейская наука еще не могла отделить абстрактное понятие числа от конкретного материального объекта. Видя в числах сущность явлений, начало начал, пифагорейцы считали, что реальные тела состоят из "единиц бытия" — "математических атомов", различные комбинации которых и представляют конкретные объекты. Даже вселенная мыслилась ими как совокупность чисел. Сами же числа пифагорейцы представляли наглядно и материально: единица трактовалась как абсолютная и неделимая единичность, т. е. точка, "геометрический атом" или первооснова всех чисел; два — как уход в неопределенную даль, т. е. прямая линия, простирающаяся в одном измерении; три — треугольник, образующий плоскость двух измерений, и возврат к определенности; четыре — пирамида, дающая представление о пространстве трех измерений. Вообще, числа 1, 2, 3, 4 играли у пифагорейцев особую роль и образовывали тетрактис , или четверку. По преданию, клятва пифагорейцев гласила: "Клянусь именем Тетрактис, ниспосланной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей природы". Особая роль тетрактиса, видимо, была навеяна законами музыкальных созвучий, после чего все объекты природы виделись пифагорейцам состоящими из четверок: четверка геометрических элементов — точка, линия, поверхность, тело; четверка физических элементов — земля, вода, огонь, воздух. (Учение Платона о четырех физических элементах, четырех стихиях, мы рассмотрим в главе 7.) Сумма же чисел, образующих тетрактис, равная десяти (10 = 1 + 2+ 3 + 4), считалась священным числом и олицетворяла всю вселенную.

Так родился знаменитый пифагорейский тезис: "Все вещи суть числа". Этот тезис, если забыть о его внутреннем содержании, а тем более если числа отождествлять с цифрами, многим представлялся попросту абсурдным. Далее, считая, что материальный мир состоит из чисел, т. е. из идей, пифагорейцы, сами того не сознавая, становились на позиции философского идеализма, и не случайно именно на почве пифагореизма возникло учение основоположника объективного идеализма в философии Платона. Наконец, интерес к числу часто носил у пифагорейцев религиозно-мистический характер [10] Некоторые отголоски пифагорейской числовой мистики мы встречаем и в наши дни: например, обычай дарить нечетное число цветов (четное число у пифагорейцев считалось несчастливым). . Но всякое явление следует рассматривать в его историческом окружении "Идеалистическая мистификация чисел у пифагорейцев была следствием неразвитости науки и философии и строя мышления, близкого к мифологическому,- пишет современный болгарский философ Е. Данков.- Но за этой формой нельзя не видеть рационального содержания значение которого все яснее проступает на современном уровне развития научного познания".

Наиболее страстно и убежденно роль числа в познании мира определил знаменитый пифагореец V века до н. э. Филолай. В одном из сохранившихся фрагментов сочинения Филолая "О природе" говорится: "В число же никогда не проникает ложь, потому что она противна и ненавистна его природе, истина же родственна числу и неразрывно связана с ним с самого начала".

Заканчивая разговор о философских аспектах пифагорейского учения о числе, хочется вспомнить и слова великого Гёте. Будучи не только гениальным поэтом, но и выдающимся мыслителем и разносторонним ученым; Гёте стряхнул с пифагорейской мудрости идеалистическую пыль: "Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир".

Перейдем теперь к математической стороне пифагорейского учения о числе. Числа пифагорейцы изображали в виде точек (возможно, камешками, расположенными на песке), которые они группировали в геометрические фигуры. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными:

линейные числа(в современной терминологии это простые числа), т. е. числа, которые делятся на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы только в виде последовательности точек, выстроенных в линию (линейное число 5);

плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6);

телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (телесное число 8);

треугольные числа (треугольные числа 1, 3, 6, 10);

квадратные числа (квадратные числа 1, 4, 9);

пятиугольные числа (пятиугольные числа 1, 5, 12)

и т. д. Именно от фигурных чисел пошло выражение "возвести число в квадрат или куб".

Такое фигурное представление чисел часто помогало найти различные числовые закономерности. Например, написав последовательность квадратных чисел, легко увидеть (именно увидеть глазами!)

доказательство следующего математического утверждения:

Аналогичное рассмотрение n-го треугольного числа приводит к равенству

Фигура (обозначенная черными точками), которая, будучи приложенной к основной фигуре (белые точки), образует ей подобную, была названа Аристотелем гномоном . Первоначально слово "гномон" означало солнечные часы — прибор, позволяющий по линиям, которые пересекает тень от вертикального столбика, разделять беспредельность времени на очевидные части. Число для пифагорейцев и есть такой гносеологический гномон, дающий возможность различать вещи и тем самым овладевать ими в сознании. Живые организмы растут именно методом гномона, что позволяет сохранять присущую этим организмам форму.

Вообще, с изучения фигурных чисел, т. е. сумм некоторого числа единиц-точек (камешков), поставленных в виде определенной фигуры, началось изучение сумм числовых рядов. Это в свою очередь позволило Архимеду (ок. 287-212 гг. до н. э.) развить методы нахождения площадей и объемов фигур и тел и вплотную подойти к созданию интегрального исчисления, появившегося, однако, лишь 2000 лет спустя.