Джо Боулер - Математическое мышление

Знание математических закономерностей помогает людям покорять океаны, прокладывать маршруты космических полетов, разрабатывать технологии для мобильных телефонов и социальных сетей, а также создавать новые научные и медицинские знания. Однако многие ученики считают, что математика — мертвая наука, не имеющая отношения к их будущему.

Чтобы понять суть математики, следует рассмотреть ее закономерности в реальном мире. Закономерности в океане и дикой природе, архитектуре и осадках, поведении животных и социальных сетях вызывают у математиков восхищение. Последовательность Фибоначчи, пожалуй, самая известная из них. Фибоначчи — итальянский математик, опубликовавший в 1202 году в Италии работу о закономерности, названной в его честь. Сейчас известно, что она появилась несколькими столетиями ранее, еще в 200 году до н. э., в Индии. Вот как выглядит последовательность Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Первые два числа — 1 и 1, а каждое следующее представляет собой сумму двух предыдущих.

Попробуйте приглядеться к снежинкам. Каждая из них уникальна, но их объединяет одна закономерность. Все снежинки имеют шестиугольную структуру, поэтому у них всегда шесть концов (рис. 3.2 и 3.3).

Рис. 3.2.Математика в снежинках

Рис. 3.3.Молекулы воды

Во время онлайн-курса для учеников, изучающих математику, в котором поучаствовало более 100 тысяч слушателей, я показала, как математику используют животные. Аудитория заинтересовалась этим. Например, дельфины находят друг друга в воде с помощью звуков (рис. 3.4).

Рис. 3.4.Общение между дельфинами

Дельфин издает характерные щелкающие звуки, которые отражаются от различных объектов и возвращаются к нему. Затем по времени прохождения и характеристикам звукового сигнала животное определяет, где находятся его друзья. Он интуитивно вычисляет скорость, то есть находит ответ на тот самый вопрос о скорости, который задают ученикам на уроках алгебры (во многих случаях он никак не связан с реальной жизнью). Во время онлайн-курса я в шутку сказала слушателям, что, если бы дельфины могли разговаривать на человеческом языке, они стали бы учителями алгебры!

Во время исследований для онлайн-курса моя студентка Микаэла обнаружила, что пауки — настоящие эксперты по спиралям. Когда паук создает паутину, он сначала плетет фигуру в форме звезды между двумя прочными вертикальными опорами, например ветвями дерева. Затем паук закручивает спираль. Ему нужно построить ее как можно быстрее, чтобы закрепить звезду, поэтому он выбирает логарифмическую спираль. В ней расстояние между следующими друг за другом витками вокруг центра увеличивается в одинаковое количество раз (рис. 3.5).

Рис. 3.5.Паутина

Получается, чем больше спираль, тем быстрее она расширяется. Но при этом в паутине образуются большие промежутки, поэтому паук начинает строить еще одну, более плотную спираль, одновременно отцепляя первую. Новая спираль — арифметическая , в ней расстояние между витками постоянно. Плетение второй спирали занимает гораздо больше времени, поскольку приходится делать больше кругов вокруг центра звезды. Но это помогает пауку поймать больше насекомых, поскольку в сети не остается крупных промежутков. Такую поразительную инженерную конструкцию можно было бы построить с помощью вычислений, но паук интуитивно использует математику при разработке и применении своего алгоритма. Другие примеры использования математики животными можно найти в работах Кита Девлина (Devlin, 2006).

Когда я демонстрировала все эти идеи слушателям своего онлайн-курса, некоторые из них не соглашались со мной, заявляя, что математика в природе и мире животных — это не математика. Эти люди признавали только область чисел и вычислений. Я хотела подтолкнуть слушателей к более широкому восприятию предмета. И достигла своей цели. К концу курса среди слушателей был проведен опрос, в ходе которого 70% респондентов сказали, что изменили свои представления о том, что такое математика. При этом 75% слушателей убедили себя, что они могут добиться успеха в математике.

Математика есть повсюду в природе и искусстве, и все же большинство школьников даже не слышали о золотом сечении и не воспринимают математику как науку о закономерностях. Если мы не откроем ученикам эту дисциплину во всем ее многообразии, то лишим их возможности ощутить волшебство математики.

Не я одна считаю, что школьная математика не имеет ничего общего с математикой истинной. В 1999 году Рубен Херш написал замечательную книгу под названием «Что же такое математика?» (Hersh, 1999). Он утверждает, что математику представляют на уроках в искаженном виде. Большинство учеников воспринимают ее как совокупность ответов на вопросы, которых никто не ставит. Но Херш отмечает следующее.

Речь о вопросах, которые стимулируют развитие математики. Решение задач и постановка новых — основа этой науки. Если математику представить в отрыве от жизни, она действительно покажется мертвой.

Научные исследования (Silver, 1994) показали: когда ученикам дают возможность сформулировать математическую задачу, проанализировать ситуацию и придумать вопрос к ней (в этом и состоит суть истинной математики), это повышает их вовлеченность и успеваемость. Но это редкость. Помните, в известном фильме 2001 года «Игры разума» Джон Нэш (которого играет Рассел Кроу) изо всех сил пытается найти интересный вопрос? Это и есть крайне важный первый этап математической работы. На школьных уроках математики у учеников нет возможности выполнить это важное действие; они тратят время на вопросы, которые кажутся им не имеющими отношения к жизни и которых они не ставили.

В своей книге «При чем тут математика?» я описываю подход к организации урока математики, основанный на постановке вопросов (Boaler, 2015a). Преподаватель Ник Фиори создавал для учеников математические ситуации с участием таких предметов, как сосновые шишки, игральные карты, цветные бусины, кости, различные детали, и предлагал сформулировать свои вопросы. Поначалу ученикам было трудно выполнять это задание, но постепенно они заинтересовались и научились использовать свои идеи, проводить математические изыскания и осваивать новые методы.