Джо Боулер - Математическое мышление

Когда моя дочь училась в четвертом классе и все еще страдала от фиксированного мышления, мы с ней побывали на уроке математики в третьем классе ее школы. Учительница записала на доске две числовые задачи; моя дочь одну решила правильно, а другую неправильно. Обнаружив ошибку, она отреагировала весьма болезненно, заявив, что у нее совсем плохо с математикой и она даже слабее третьеклассников. В этот момент нужно было сказать ей нечто очень откровенное и важное. Я заявила: «Знаешь, что сейчас произошло? Когда ты решила задачу неправильно, твой мозг вырос, а когда ты получила правильный ответ, в твоем мозге ничего не произошло». Именно так учителям стоит взаимодействовать со своими учениками, которые совершают ошибки. Дочь взглянула на меня широко распахнутыми глазами — и я поняла, что для нее это была очень важная мысль. Сейчас она переходит в шестой класс, и она стала совсем другой: позитивно воспринимает ошибки и положительно относится к себе. Это стало возможно не потому, что ей давали больше заданий по математике или другой работы, а благодаря тому, что ее учили развивать мышление роста.

В 1930-е годы швейцарский психолог Жан Пиаже, один из крупнейших специалистов мира, отбросил идею о том, что суть обучения сводится к запоминанию. Он отмечал, что истинное обучение зависит от понимания того, как идеи согласуются друг с другом. Пиаже предположил, что у учеников есть ментальные модели, определяющие способ сведения идей воедино, а когда они приобретают для учеников определенный смысл, возникает то, что психолог назвал «равновесием» (см., например, Piaget, 1958, 1970). Сталкиваясь с новыми идеями, ученики пытаются привести их в соответствие с имеющимися ментальными моделями. Но если новые идеи не вписываются в существующие модели или эти модели необходимо изменить, ученики приходят в состояние, которое Пиаже обозначал термином «отсутствие равновесия». В таком состоянии человек знает, что новую информацию нельзя включить в его модели обучения; но ее нельзя и отбросить, поскольку она имеет смысл. И тогда человек пытается скорректировать свои модели. На первый взгляд может показаться, что отсутствие равновесия вызывает дискомфорт. Но, по мнению Пиаже, именно оно дарит истинную мудрость. Психолог представил обучение как процесс перехода от равновесия, в котором все связано воедино, к отсутствию оного, когда новая идея не согласуется с существующими моделями, а затем снова к состоянию равновесия. Пиаже утверждает, что этот процесс крайне важен в обучении (Haack, 2011).

В главе 4рассматриваются практика в математике и типы практических заданий, одни из которых приносят пользу, а другие нет. И я подчеркиваю, что одна из проблем нынешнего математического образования состоит в том, что учеников знакомят с однообразными и простыми концепциями, не позволяющими им перейти к отсутствию равновесия. Мы знаем, что людям с высокой терпимостью к неопределенности легче переходить от отсутствия равновесия к равновесию — и поэтому мы должны чаще ставить учеников в условия неопределенности и риска. В следующих главах показано, как это можно сделать.

Исследования ошибок и отсутствия равновесия крайне важны для преподавания математики, причем не только для создания методов работы над ошибками, но и для выбора заданий. Если мы хотим, чтобы дети делали ошибки, нужно давать им сложные и интересные задачи, которые им трудно выполнить, но которые обеспечат отсутствие равновесия. Задания должны сопровождаться позитивной обратной связью — сигналами, которые помогут ученикам чувствовать себя комфортно, когда они будут напряженно работать, делать ошибки и двигаться дальше. Это серьезные изменения для многих учителей, которые сейчас подбирают задания по математике так, чтобы ученики могли успешно справиться с ними, и задают вопросы, на которые дети обычно отвечают правильно. Получается, ученики не работают с полной отдачей и не получают достаточных возможностей для обучения и роста мозга.

На семинарах Кэрол Дуэк часто говорит родителям, чтобы те донесли до своих детей такую мысль: в правильном выполнении задания нет ничего хорошего, поскольку это свидетельствует об отсутствии обучения. И если дети приходят домой и говорят, что правильно ответили на все вопросы во время урока или теста, родителям стоит реагировать так: «Жаль: выходит, у тебя не было возможности чему-то научиться». Это весьма резкий отклик, но важный: нужно вытеснить идею, которую часто внушают в школе: «Надо делать все правильно, отсутствие ошибок — признак ума». Мы с Кэрол пытаемся изменить в и дение учителей, чтобы они придавали правильному выполнению заданий меньшее значение, и большее — важности ошибок.

Сэнди Гиллиам — замечательная учительница, за которой я наблюдала много лет. Ее ученики добиваются серьезных успехов и любят математику. Однажды я присутствовала на первом занятии, которое она проводила для учеников старших классов. Когда те работали над заданием, Сэнди заметила, что один ученик сделал ошибку и понял это. Она подошла к мальчику и попросила его показать свою ошибку на доске. Он неуверенно посмотрел на учительницу и сказал: «Но я же получил неправильный ответ». Сэнди ответила, что именно поэтому она хочет, чтобы ученик поделился своим результатом, и это очень полезно. Ведь такую же ошибку могут сделать и другие, поэтому стоит обсудить ее всем классом. Мальчик согласился и записал свой ход мыслей на доске. Со временем рассказы о своих ошибках стали для учеников обычной практикой. Я часто показываю видео с учениками Сэнди, которое помогает учителям и директорам школ понять, чего могут добиться дети при эффективном преподавании математики.

На одном из моих любимых видео показано, как ученики Сэнди пытаются вместе решить на доске сложную задачу. Ученики напряженно работают над решением и слушают друг друга, когда кто-то из них предлагает идею. Они часто ошибаются и выбирают неверный путь, но в итоге общими усилиями добиваются результата. Это яркий пример того, как ученики используют стандартные математические методы и практические задания (в соответствии с рекомендациями CCSS [8]). Они объединяют свои идеи с известными им методами, чтобы решить нестандартную прикладную задачу из тех, с которыми им предстоит столкнуться в реальном мире. Опытные учителя, которые смотрят это видео, часто отмечают, что ученики чувствуют себя комфортно, предлагая различные идеи, и не боятся ошибиться. И вот почему дети способны эффективно выполнять задания, когда им не мешает страх перед ошибками: Сэнди научила их принимать ошибки и подчеркивает их важность в обучении.

Недавно я работала в Стэнфорде над одним исследованием вместе с Кэрол Дуэк, Грегом Уолтоном, Кариссой Ромеро и Дэйвом Паунеску. Именно они предложили множество приемов, которые улучшают мышление учеников и усиливают их чувство принадлежности к школе [9]. В ходе исследования мы провели сеанс воздействия на мышление учителей, объяснив им значение ошибок и ряд идей по поводу преподавания, о которых идет речь в данной главе. Мы быстро выяснили, что у учителей, которые были подвергнуты воздействию, гораздо более развито мышление роста и более положительное отношение к ошибкам в математике. Вдобавок они сообщили о том, что используют во время уроков разные идеи по поводу поощрения ошибок. Есть и другие важные изменения, которые учителя могут внести в свои уроки; они рассмотрены в следующих главах. Пока хочу отметить, что одно из самых важных изменений, которое могут без труда внедрить учителя или родители (и оно принесет ученикам огромную пользу), — корректировка обратной связи об ошибках. В следующей главе я расскажу, как важно изменить сам подход к математике. Необходимо показать ученикам, что истинная математика — не нечто неизменное и основанное на процедурах; это открытый и творческий предмет, суть которого сводится к установлению связей, обучению и развитию.