Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II

Если данные точно соответствуют этому метрическому дереву, то для каждого , дерево будет включать поддерево, подобное изображенному на рисунке 5.17.

Рисунок 5.17. Поддерево дерева на рисунке 5.16.

Но на этом рисунке видим, что , так как в сумму слева входят только длины четырех ребер, отходящих от листьев дерева, а в сумму справа – все они и, кроме того, удвоенная длина центрального ребра. Это неравенство называется 4-точечным условием для соседей. Если и являются соседями, то неравенство верно для любых значений из диапазона от 3 до .

Условие 4-точек лежит в основе метода присоединения соседей, но предстоит еще много работы, чтобы перевести его в простую для применения форму. Для фиксированного существует возможных значения удовлетворяющих условию при . Если просуммировать 4-точечные неравенства по этим , то получим следующее неравенство, содержащее сумму расстояний .

Чтобы упростить это неравенство, определим общее расстояние от таксона до всех других таксонов как , где расстояние в сумме интерпретируется как 0, естественным образом. Затем, добавление к каждой стороне исходного неравенства позволяет записать его в более простой форме следующим незамысловатым образом .

Вычитание из частей неравенство придает ему ещё более симметричную форму .

Наконец, если рассмотреть эту последовательность действий для произвольных и , а не только для и , то можно ввести обозначение .

Тогда, если и являются соседями, то имеет место для всех .

Это дает критерий, используемый в методе присоединения соседей: из данных расстояний , заполоняется новая таблица значений . Затем для соединения выбирается пара таксонов с наименьшим значением . Приведенный выше вывод формулы для вычисления показывает, что если и являются соседями, то соответствующее им значение будет наименьшим из значений в -й строке, -м столбце таблицы. Более глубокий анализ, который провели Штудер и Кеплер в 1988 году, показывает, что если данные идеально подходят к дереву, то наименьшая запись во всей таблице значений будет указывать на пару таксонов, которые являются соседями.

Поскольку полный алгоритм присоединения соседей довольно сложен, приведём лишь краткое описание этого метода:

Шаг 1: Учитывая данные о расстоянии для таксонов, вычислите новую таблицу значений . Выберите наименьшее значение, чтобы определить, к каким таксонам присоединиться. Это значение как правило оказывается отрицательным; в этом случае «наименьшее» означает отрицательное число с наибольшим значением по абсолютной величине.

Шаг 2: Если и должны быть соединены на новой вершине , временно сверните все остальные таксоны в одну группу и определите длины рёбер от и до , используя 3-точечные формулы из предыдущего раздела для , и , как в FM-алгоритме.