Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II

Примечание: Фитч и Марголиаш предложили выбрать оптимальное метрическое дерево для соответствия данным как такое, которое минимизирует . Алгоритм FM был введен в попытке получить аппроксимацию оптимального дерева.

5.2.9. Смоделируйте данные a1, a2, a3 и a4 в соответствии с моделью Джукса-Кантора с молекулярными часами. Сохраните их в файл seqdata.mat путём ввода save seqdata.mat. Загрузите ранее сохраненные данных из файла seqdata.mat в MATLAB путем ввода load seqdata. Затем исследуйте производительность UPGMA с расстоянием Джукса-Кантора, чтобы построить дерево для последовательностей a1, a2, a3 и a4. Все расстояния между последовательностями можно легко вычислить, поместив последовательности в строки массива с помощью команды a=[a1;a2;a3;a4], а затем используя команду [DJC DK2 DLD]=distances(a). Хотя эта команда вычисляет расстояния, используя каждую из формул Джукса-Кантора, 2-параметрической модели Кимуры и формул логарифмического расстояния, для решения этой задачи используйте только расстояния Джукса-Кантора.

а. Нарисуйте дерево UPGMA для 4 таксонов, пометив каждое его ребро длиной.

б. По длинам ребер вычислите расстояния между таксонами при обходе вдоль дерева. Близки ли они к исходным расстояниям?

5.2.10. Повторите решение предыдущей задачи, но используя алгоритм FM вместо UPGMA. Является ли дерево, которое получится в результате, «лучше», чем то, которое получалось раньше? Объясните почему.

5.2.11. Смоделируйте данные b1, b2, b3, b4 и b5 в соответствии с моделью Джукса-Кантора, но без молекулярных часов. Сохраните их в файле seqdata.mat. Исследуйте возможность применения UPGMA с расстоянием Джукса-Кантора для построения дерева для последовательностей b1, b2, b3, b4 и b5 в файле данных seqdata.mat. Полезные команды MATLAB см. в задаче 5.2.9.

а. Нарисуйте дерево UPGMA для 5 таксонов, пометив каждое ребро его длиной.

б. По длинам ребер вычислите расстояния между таксонами вдоль дерева. Близки ли они к исходным данным?

5.2.12. Повторите решение предыдущей задачи, но используя алгоритм FM вместо UPGMA. Является ли дерево, которое получилось в результате, «лучше», чем то, которое было получено ранее? Объясните почему.

5.2.13. Построение дерева с помощью UPGMA предполагает молекулярные часы. Предположим, что некорневое метрическое дерево на рисунке 5.14 правильно описывает эволюцию таксонов A, B, C и D.

Рисунок 5.14. Дерево для задачи 5.2.13.

а. Объясните, почему, независимо от местоположения корня, молекулярные часы не могли здесь работать.

б. Задайте массив расстояний между каждой парой из четырех таксонов. Выполните UPGMA для этих данных.

в. UPGMA не реконструировала правильное дерево. Что получилось в результате? Что такого было в этом метрическом дереве, что ввело алгоритм в заблуждение?

г. Объясните, почему алгоритм FM также не построит правильное дерево.

На практике метод UPGMA и FM-алгоритм редко используются для построения дерева, потому что существует дистанционный метод, который как правило работает лучше, чем любой из них. Тем не менее идеи, лежащие в их основе, помогают понять популярный алгоритм присоединения соседей, на котором сосредоточимся в дальнейшем. Чтобы понять, почему UPGMA или FM-алгоритм могут быть ошибочными, рассмотрим метрическое дерево с 4 таксонами на рисунке 5.15. Здесь и представляют определенные длины, причем намного меньше, чем . Говорим, что вершины и в этом дереве являются соседями, потому что ребра, ведущие от них, соединяются в общей вершине. Точно так же и являются соседями, но и – нет.

Рисунок 5.15. 4-таксонное метрическое дерево с дальними соседями, .

Предположим, что метрическое дерево на рисунке 5.15 описывает истинную филогению таксонов. Тогда идеальные данные дадут нам расстояния в таблице 5.10.

Таблица 5.10. Расстояния между таксонами на рисунке 5.15

3х x+y 2х + y

2x+y x+y

x+2y

Но, если намного больше (на самом деле, уже достаточно хорошо), то ближайшими таксонами по расстоянию являются и , которые не являются соседями. Таким образом, UPGMA или FM-алгоритм, выбирая ближайшие таксоны, выбирает для присоединения не соседей. Самый первый шаг соединения будет неправильным, и как только присоединимся к не соседям, то не восстановим истинное дерево. Суть проблемы заключается в том, что если молекулярные часы не работают, как в случае с деревом на рисунке 5.15, то ближайшие таксоны по расстоянию не обязательно должны быть соседями по дереву.

Вопросы для самопроверки:

– Если намного меньше , то откуда уверенность в том, что молекулярные часы не работают в эволюции, описанной деревом на рисунке 5.15?

Рисунок 5.16. Дерево с соседями и .

Таким образом, выбор ближайших таксонов для присоединения ввел заблуждение; нужен более сложный критерий выбора таксонов для присоединения. Чтобы изобрести его, представьте себе дерево, в котором таксоны и являются соседями, соединенными в вершине , а каким-то образом соединена с оставшимися таксонами , как показано на рисунке 5.16.