Мордехай Тульчинский - Качественные задачи по физике в средней школе и не только…

В большинстве школьных задач такого рода мы не принимаем тормозящую силу в расчет, считая ее малой. Это хорошо работает, когда падающее тело тяжелое и компактное, а высота падения небольшая. Дело в том, что сила сопротивления воздуха невелика, пока скорость маленькая, но быстро растет с ростом скорости (она пропорциональна квадрату скорости тела). При падении с небольшой высоты (например, с крыши девятиэтажки) тело не успевает набрать значительную скорость, поэтому сила сопротивления воздуха остается малозаметной (впрочем, птичьему перу или скомканному листу бумаги достаточно и этого, чтобы перестать ускоряться). Но 10 и тем более 15 километров – высота весьма значительная, без тормозящего воздействия воздуха тела набирали бы на такой дистанции огромную скорость (вы можете сами рассчитать ее точно и убедиться, что она превосходит скорость пассажирского авиалайнера). Гораздо раньше, чем теннисный мяч наберет такую скорость, сила сопротивления воздуха сравняется с силой тяжести, действующей на мяч, и мяч перестанет ускоряться, достигнув так называемой предельной скорости падения. Эта скорость будет одинаковой у обоих мячей, так что и их кинетическая энергия при подлете к земной поверхности будет одинаковой.

118. Три поросенка катаются с горки

Начнем со второго вопроса – ответить на него поможет закон сохранения механической энергии. Поскольку горка ледяная, а санки специально подготовлены к таким соревнованиям, мы можем считать, что трение между санками и поверхностью горки очень маленькое, так что на него при рассуждениях можно не обращать внимания. Тогда потенциальная энергия mgh , которой каждый поросенок вместе со своими санками обладал на старте в верхней части горки, перейдет в кинетическую энергию mv 2/2 у финиша. И та, и другая энергия пропорциональны массе, следовательно, соотношение между ними от массы не зависит: gh = v 2/2. Другими словами, скорость у финиша зависит от высоты, с которой скатываются поросята, но не зависит ни от массы поросенка и санок, ни от формы склона горы. А поскольку все три поросенка скатываются с одной и той же высоты, к финишу все приедут с одинаковой скоростью!

Но одинаковая скорость на финише еще не означает, что поросята затратят одинаковое время на спуск – ведь скорость меняется во время спуска, причем меняется по-разному. Ниф-Ниф набирает скорость на старте медленнее, чем Нуф-Нуф, а Нуф-Нуф, в свою очередь, медленнее, чем Наф-Наф. При этом Ниф-Нифу придется проехать еще и более длинный путь, потому что дуга длиннее прямой, поэтому он совершенно точно отстанет от прочих. Наф-Наф тоже проедет более длинный путь, чем Нуф-Нуф, но быстрый набор скорости вначале может позволить ему опередить своих соперников: если дуга не очень сильно прогибается вниз, то ее длина почти не отличается от длины прямой, а средняя скорость будет выше.

Можно дать математически совершенно точный ответ на вопрос, какой формы должна быть идеальная горка, то есть горка, которая быстрее всего приводит из точки A в точку B, однако для этого нужен уже серьезный математический инструментарий. Кривая, которая получается при таком расчете, называется брахистохроной . Она позволяет поставить рекорд в этих соревнованиях – и всем троим поросятам до него еще далеко.

119. Туда и обратно

Поскольку трасса одна и та же и начальная скорость одна и та же, на первый взгляд кажется, что разницы во времени быть не должно.

Однако сопоставим участки AC и ZX . Их длина одинакова, но в первом случае Бильбо съезжает в ямку, его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия и скорость возрастают, а во втором случае – въезжает на горку, так что его потенциальная энергия увеличивается за счет кинетической, так что Бильбо теряет в скорости. Следовательно, середину участка AC он проезжает с большей скоростью, чем середину участка ZX , а в начале и в конце скорость одинакова. При одинаковой длине участков это означает, что на участок AC уходит меньше времени. Этот же вывод справедлив и для следующих участков, в том числе для «половинчатого» финишного ( YZ и BA ). Значит, путь AZ потребует меньшего времени, чем путь ZA .

120. Когда круто – это не круто

Этот вопрос настолько близок к нашему повседневному опыту, что на него даже трудно дать обстоятельный ответ: понятно же, что чем круче подъем, тем тяжелее на него взбираться!

Попробуем, однако, проанализировать ситуацию на языке физики. Это позволит нам обнаружить некоторые тонкости, незаметные при поверхностном взгляде.

Начнем с энергетического подхода. Двигатель сжигает топливо, получает из топлива энергию и совершает работу. Мощность двигателя (то есть работа, совершаемая в единицу времени) ограничена. Когда автомобиль едет по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью, его полная механическая энергия остается постоянной: не меняется ни кинетическая энергия (связанная со скоростью, которая при равномерном движении постоянна), ни потенциальная (связанная с высотой, которая тоже неизменна). Значит, вся совершаемая двигателем механическая работа уходит на преодоление сил сопротивления (сопротивление воздуха, трение качения, взаимное трение частей механизмов и так далее). На подъеме силы сопротивления никуда не исчезают, их по-прежнему необходимо преодолевать, но теперь еще часть работы должна уходить на увеличение потенциальной энергии автомобиля. Вспомним, что по крайней мере часть сил сопротивления зависит от скорости (см. задачу 117), так что мы можем снизить мощность, уходящую на преодоление сопротивление, снизив скорость автомобиля, тогда высвободившуюся мощность можно направить на приращение потенциальной энергии, то есть на набор высоты. Ровно поэтому на подъеме водитель понижает передачу: на более низкой передаче двигатель отдает ту же мощность на меньшей скорости, действуя с большей силой (см. задачу 115).

Но нас ждет подвох с другой стороны – со стороны действующих на автомобиль сил. Вспомним, что автомобиль движется вперед за счет силы трения (см. задачу 33). Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры: F = µ N . На горизонтальной поверхности сила реакции опоры уравновешивает полную силу тяжести, действующую на автомобиль, поэтому равна ей по величине. Но на наклонной плоскости сила реакции опоры уравновешивает только ту составляющую силы тяжести, которая перпендикулярна наклонной плоскости.

Это означает, что сила реакции опоры уменьшается по величине, а вместе с ней уменьшается и максимальная сила трения покоя! Значит, с ростом крутизны склона в какой-то момент даже пониженная передача нам не поможет: мы снизим скорость, чтобы увеличить силу, которую развивает двигатель при ограниченной мощности, – но колеса просто начнут проскальзывать, потому что эта сила превысит максимальную силу трения покоя.