Валентин Арьков - Анализ рядов динамики в электронных таблицах

Когда S положительно, линия S находится выше горизонтальной оси, и мы оказываемся выше линии тренда. Когда S отрицательно, мы будем ниже линии тренда. Так получаются колебания с постоянной амплитудой вокруг линии тренда. Размах этих колебаний соответствует амплитуде сезонных колебаний S. Например, «сто плюс-минус двадцать рублей» или «тысяча плюс-минус двадцать рублей».

Рис. 4.1. Тренд плюс сезонность

Нам предстоит делать много зарисовок по ходу выполнения работы. Технология вставки ручных зарисовок подробно описана в первой работе [1]. Можете ещё раз открыть это пособие и освежить в памяти материал.

Задание. Сделайте зарисовку рис. 4.1 и вставьте в отчёт.

Произведение компонентов даёт нам МУЛЬТИПЛИКАТИВНУЮ МОДЕЛЬ:

y = T * S * E.

Как и в предыдущем случае, каждый член уравнения является функцией времени:

y (t) = T (t) * S (t) * E (t).

Слово МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ означает «умножение», от английского multiply — «умножать».

Можно умножать числа. Можно почувствовать, как происходит умножение на графике. Буквально увидеть умножение. Если вы его освоите, то в дальнейшем сможете легко узнать просто по внешнему виду.

Задание. Дайте определение слову МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ.

Рассмотрим, как же происходит умножение компонентов (рис. 4.2).

На верхнем графике изображён растущий тренд — как и в предыдущем примере.

На среднем графике показаны сезонные колебания. Но теперь это колебания ВОКРУГ ЕДИНИЦЫ. Например, это могут быть колебания от 0,8 до 1,2. То есть плюс-минус 20% от единицы. Здесь колебания будут В ПРОЦЕНТАХ, а не в рублях!

Перемножим эти два графика и построим нижний график:

T * S.

На графике колебаний есть точки, где S проходит через единицу: S = 1. Если любое значение Т умножить на единицу, получим то же самое значение Т. Это значит, что в этих точках мы окажемся на линии тренда.

Когда S больше единицы, после умножения мы окажемся выше линии тренда. Когда S меньше единицы, мы будем ниже линии тренда. Получаем колебания вокруг линии тренда. Но теперь амплитуда колебаний будет изменяться вместе с трендом. Например, «плюс-минус двадцать процентов». Это «плюс-минус 200 рублей» вокруг значения 1000. А вокруг значения 2000 уже получим колебания «плюс-минус 400 рублей».

Рис. 4.2. Тренд умножить на сезонность

Задание. Сделайте зарисовку рис. 4.2 и вставьте в отчёт.

Теперь пришло время выбрать свой вариант — последнюю цифру номера зачётки. Если попалась цифра 0, берите вариант номер 10. Нулевой вариант будет использоваться для демонстрации приёмов выполнения работы.

Задание. Выясните свой номер варианта и укажите его на титульном листе отчёта.

В таблице 5.1 приведены варианты заданий с 0 по 10. Нам предстоит вставить параметры своего варианта в отчёт. Пока что это просто семь чисел. В следующем разделе мы с ними познакомимся поподробнее.

Задание. Вставьте параметры своего варианта в отчёт.

На следующих страницах отчёта мы сделаем зарисовки общей формы графиков наших исходных данных.

Изобразим три компонента по отдельности и их соединение в виде моделей рядов динамики (аддитивной и мультипликативной). Зарисовки делаем от руки на бумаге. Фотографируем и вставляем в отчёт, как обычно.

Зарисовки для каждой из обеих моделей расположим на разных листах отчёта.

Задание. Создайте две новые страницы в отчёте и дайте им соответствующие заголовки.

Аддитивную модель будем строить по следующим формулам (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Уравнения аддитивной модели

Вставляем формулы в отчёт (рис. 6.2). Продолжаем тренироваться писать от руки.

Рис. 6.2. Аддитивная модель

Задание. Запишите формулы аддитивной модели и вставьте в отчёт.

Вначале займёмся трендом. Запишем уравнение тренда для нулевого варианта (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Уравнение тренда

Задание. Вставьте в отчёт уравнение тренда в соответствии со своим вариантом.

Теперь сделаем зарисовку формы тренда по нашему уравнению. Это уравнение прямой линии. Поэтому для построения графика достаточно взять две точки (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Форма тренда

Линия тренда пересекает ось y в точке a. Это первая точка на графике. Координаты первой точки {0; a}.

Мы рассматриваем n отсчётов по времени. Значит, в правой части мы доходим до значения a + bn. Координаты второй точки {n; a + bn}.

Подставим параметры нулевого варианта. Получаем следующие точки (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Расчёты тренда

Переходим к зарисовке тренда (рис. 6.6). Выбираем масштаб — «красивые» круглые числа. По горизонтальной оси от 0 до 50. По вертикальной оси от 0 до 30. Проводим линию тренда. Очень приблизительно. На глазок. Без линейки. Вставляем в отчёт.

Рис. 6.6. Зарисовка тренда

Задание.Сделайте зарисовку линии тренда и вставьте в отчёт.

В формулу для сезонности мы заложили, «спрятали» определённый период колебаний. Период — это промежуток времени, через который график повторяется. Период колебаний T ки коэффициент при переменной t связаны по следующим формулам (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Уравнения колебаний

Коэффициент А определяет амплитуду колебаний.

Период колебаний традиционно обозначают латинской буквой Т. Мы добавим индекс к, чтобы отличать его от тренда, который тоже обозначили через Т. Такие сложности с обозначениями часто бывают при работе на стыке дисциплин. В нашем случае это одновременная работа с физикой и экономической статистикой. Физика изучает механические процессы вращения и колебаний. Статистика изучает колебания цен и других показателей в экономике.

Сезонные колебания связаны с временами года. Попробуйте угадать с одного раза: с какой периодичностью к нам приходит Новый год? Через сколько месяцев? Вот это и есть период сезонных колебаний. С таким периодом происходит, например, ежегодный всплеск цен на турпоездки в тёплые страны.

Частота колебаний f — это величина, обратная периоду колебаний Тк. Это количество колебаний или оборотов в единицу времени. Частота по-английски называется FREQUENCY. Видимо, поэтому частоту обозначают латинской буквой f.

Круговая частота «омега» связана с частотой f через множитель «два пи». Это коэффициент при t в аргументе функции синуса (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Период колебаний

Задание. Вычислите период сезонных колебаний.

Мы разобрались с периодом колебаний. Теперь можно записать уравнение для сезонных колебаний в нашей аддитивной модели (рис. 6.9). Здесь учитывается амплитуда и период колебаний для нулевого варианта.